Bazı Halkalar Üzerinde Tanımlı Devirli Kodlar Hakkında Araştırmalar

Abstract

Birinci bölümde kodlama teorisi ve devirli kodlar hakkında literatür araştırmalarından bahsedilmiştir. İkinci bölümde bazı cebirsel kavramlar, kodlama teorisi ve devirli kodlar ile ilgili temel kavramlar ve teoremler verilmiştir. Materyal ve Yöntem bölümünün birinci kısmında, Z_4+vZ_4 halkası tanıtılarak bu halka üzerinde tanımlı devirli kodlar gösterilmiştir. Z_4+vZ_4 halkası üzerindeki devirli kodların bazı sonuçları anlatılmıştır. Materyal ve Yöntem bölümünün ikinci kısmında, Z_4+uZ_4+vZ_4+uvZ_4 halkası tanıtılarak bu halka üzerinde tanımlı lineer kodlar, devirli kodlar gösterilmiştir. Z_4+uZ_4+vZ_4+uvZ_4 halkası üzerindeki Gray dönüşüm incelenmiştir. Materyal ve Yöntem bölümünün son kısmında, Z_4+uZ_4+vZ_4+wZ_4+uvZ_4+〖uwZ〗_4+vwZ_4+uvwZ_4 halkasının yapısı incelenerek bu halka üzerinde tanımlı devirli kodlar gösterilmiştir. Gray dönüşümü incelenmiştir ve bu halka üzerinde self-dual ve self ortogonal kodlar olduğu belirtilmiştir. Bulgular bölümünde, Z_4+uZ_4+vZ_4+wZ_4+uvZ_4 halkası elde edilerek bu halka üzerindeki devirli kodların yapısı incelenmiştir. Yeni bir uzaklık koruyan Gray dönüşüm tanımlanmıştır. Z_4 halkası üzerindeki üreteç polinomları kullanılarak R_B halkası üzerindeki devirli kodun üreteci belirlenmiştir. Bu kodların self ortogonal ve self-dual kodlar olduğu gösterilmiştir.

In section I, a brief survey on coding theory and cyclic codes are summarized. In section II, basic concepts and theorems about some algebraic concepts, coding theory and cyclic codes are provided. In the first part of the material and method section, the ring Z_4+vZ_4 is introduced and the cyclic codes over this ring are investigated. Some consequences of cyclic codes over Z_4+vZ_4 are described. In the second part of the material and method section, the ring Z_4+uZ_4+vZ_4+uvZ_4 presented and the linear codes and cyclic codes over this ring are illustrated. The Gray map over the ring Z_4+uZ_4+vZ_4+uvZ_4 is investigated. In the last part of the material and method section, by examining the structure of the ring Z_4+uZ_4+vZ_4+wZ_4+uvZ_4+〖uwZ〗_4+vwZ_4+uvwZ_4, the cyclic codes over this ring are displayed.The investigation of the Gray map have revealed the existence of self-dual and self orthogonal codes over this ring. In the discussion section, the ring Z_4+uZ_4+vZ_4+wZ_4+uvZ_4 is obtained and the structure of the cyclic codes over this ring are examined. A new distance preserving Gray map is defined. The generator of the cyclic codes found out as self orthogonal and self-dual over ring R_B is determined by using the generator polynomials over ring Z_4.