Süreksiz Katsayılı Sınır Değer Problemlerinin Özdeğerlerinin Asimptotisi

Abstract

ÖZET Bu çalışma dört bölüm halinde düzenlenmiştir. Birinci bölümde lineer diferensiyel operatörler ile ilgili temel tanımlara ve kuazipolinomların sıfır yerlerinin dağılımına ait bilgilere yer verilmiştir. İkinci bölümde bilinen metodlarla ikinci mertebeden parametreye bağlı lineer diferensiyel denklemin çözümlerinin parametreye göre asimptotiği incelenmiştir. Üçüncü ve dördüncü bölüm çalışmamızın orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümlerde yüksek mertebeden türevinin katsayısı kompleks değerli, parçalı-sabit fonksiyon olan parametreye bağlı ikinci mertebeden diferensiyel denklem için bir kaç farklı özelliği bulunan fonksiyonel çok noktalı sınır değer probleminin spektrumu araştırılmıştır. Üçüncü bölümde önce kompleks düzlem dört tane sektöre bölünmüştür. Bu sektörlerin her birinde diferensiyel denklemin çözümlerinin asimptotiği bulunmuştur. Daha sonra bu sektörlerin her biri iki sektöre bölünerek elde edilen sekiz sektörün her birinde sınır şartlarında bulunan lineer fonksiyonellerin ve sınır değer ifadelerinin asimptotiği elde edilmiştir. Bu asimptotik formüllerden faydalanarak karakteristik determinant asimptotik kuazipolinom şeklinde ifade edilip özdeğerler iki dizi şeklinde düzenlenmiş ve asimptotik formüller bulunmuştur. Dördüncü bölümde yüksek mertebeden türevin katsayısının aldığı değerlerin argümentlerinin eşit olduğu durum incelenmiştir. Bu halde kompleks düzlem iki yan- düzleme bölünmüş ve bu yarı-düzlemlerin her birinde üçüncü bölümde olduğu gibi karakteristik determinant kuazipolinom şeklinde ifade edilmiş ve bir dizi şeklinde düzenlenerek özdeğerlerin asimptotiği bulunmuştur.

SUMMARY This study has been desinged in four parts. In the first section it has been mentioned about the basic definitions of linear differential operators and knowledge about the dispersion of quasi-polinoms on zero places. In the second section asymptotic according to the parameter of the solutions of linear differential equation with respect to with the second order parameter with known methods has been examined. The third and the fourth sections have been formed the original sides of our study. In these sections spectrum of functional poly-pointed boundary value problem which has some different properties for differential equation from second order connected with the parameter whose coefficient of derivation from higher order is a complex variable partial constant has been investigated. In the third section, the complex plain has been divided into four sectors and in each of these factors, the asymptotic of the solutions of the diferential equation has been found. Dividing the each sector into two then eight sectors have been obtained. In each of these eight obtained sectors, the asymptotic of linear functional at boundary conditions has been found. IIUsing these asymptotic formulas, characteristic determinant has been written as asymptotic quasi-polinom. Writing the eigenvalue in two sequences, the asymptotic formulas have been found. In the fourth section, the case of the argument of values of the coefficiency of the derivation in higher-order has been examined. Tn such a case the complex plain has been divided into two half-plains. As it is mentioned in the third section that in each of these two half-plains, characteristic determinant has been stated as quasi-polinom. Arranging these quasi-polinom as a sequence, the asymptotic of eigenvalue has been obtained. Ill