Özel Eğrilik Çizgili Yüzey Aileleri Üzerine

Abstract

This study consists of five chapters. In the first chapter, the aim of the thesis and the previous studies are presented. In the second chapter, the basic definitions and theorems in 3-dimensional Euclidean Space are given. The third chapter is the material and the method section of the thesis and in this chapter, necessary and sufficient conditions that are necessary for the unit speed curve given with the Frenet frame in E3 Euclidean space to be both parametric and line of curvature on a parametric surface is explained. The fourth chapter constitutes the original part of the thesis. In the first section of this chapter, the necessary and sufficient conditions for surfaces that pass through a unit speed curve given with Bishop frame in the E3 Euclidean space and that accept this curve as both a parameter curve and a line of curvature were examined. In the second part, necessary and sufficient conditions are given for the unit speed curve given with the Frenet frame on a surface given with the parametric equation in E3 Euclidean space to be the line of curvature of the Mannheim curve pair. In the third part, the necessary and sufficient conditions for unit speed curve given with Bishop frame in the E3 Euclidean space to be both parameter curve and line of curvature on the surface that is given with parametric equotion of Mannheim-B pair are explained. In the fourth and fifth part, in the event of surface of being a ruled surface which is a special type of surface, the conditions of mentioned surfaces of being line of curvature were examined and the developable ones among these ruled surfaces are examined. In addition, using the obtained findings, various examples including a few known specific surface types supporting the study were given using the Mapple 12 program. In the fifth and last chapter, results that are obtained from the study are discussed and studies that can be done was emphasized. Keywords: Bishop frame, Developable ruled surface, Euclidean Space, Line of curvature, Mannheim curve, Mannheim- B Curve Pair, Ruled Surface.

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezin amacı ve daha önce yapılan çalışmalar anlatıldı. İkinci bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında temel tanım ve teoremlere yer verildi. Üçüncü bölüm, tezin materyal ve yöntem kısmı olup bu bölümde, E^3 Öklid uzayında Frenet çatısı ile verilen birim hızlı eğrinin parametrik yüzey üzerinde hem parametrik hem de eğrilik çizgisi olması için gerekli ve yeterli şartlar ifade edildi. Dördüncü bölüm, tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümün birinci kısmında, E^3 Öklid uzayında Bishop çatısı ile verilen birim hızlı bir eğriden geçen ve bu eğriyi hem parametre eğrisi hem de eğrilik çizgisi olarak kabul eden yüzeyler için gerekli ve yeterli koşullar incelendi. İkinci kısmında E^3 Öklid uzayında parametrik denklem ile verilmiş bir yüzey üzerinde Frenet çatısı ile verilen birim hızlı eğrinin Mannheim eğri çiftinin eğrilik çizgisi olması için gerekli ve yeterli şartlar verildi. Üçüncü kısmında E^3 Öklid uzayında Bishop çatısı ile verilen birim hızlı eğrinin Mannheim-B eğri çiftinin parametrik denklemi ile verilen yüzey üzerinde hem parametre eğrisi hem de eğrilik çizgisi olması için gerekli ve yeterli şartlar ifade edildi. Dördüncü, beşinci ve altıncı kısmında ise yüzeyin özel bir çeşidi olan regle yüzey olması durumunda bahsi geçen eğrilerin eğrilik çizgisi olma şartı incelenerek bu regle yüzeyler içerisinden de açılabilir olanları incelendi. Ayrıca elde edilen bulgular kullanılarak çalışmayı destekleyen ve bilinen birkaç özel yüzey çeşitlerini de içeren çeşitli örnekler Mapple 12 programı kullanılarak verildi. Beşinci ve son bölümde ise çalışmada elde edilen sonuçlar tartışılarak yapılabilecek çalışmalar üzerinde duruldu. Anahtar Sözcükler: Açılabilir Regle yüzey, Bishop çatısı, Eğrilik çizgisi, Mannheim eğri, Mannheim-B eğri çifti, Öklid uzayı, Regle yüzey.