Cofinitely Essential Supplemented Modules

Abstract

In this work, cofinitely essential supplemented modules aredefined and some properties of these modules are investigated. All ringswill be associative with identity and all modules will be unital leftmodules in this work. Let M be an R-module. If every cofinite essentialsubmodule of M has a supplement in M, then M is called a cofinitelyessential supplemented (or briefly cofinitely e-supplemented) module.Clearly we can see that every cofinitely supplemented module iscofinitely essential supplemented. Because of this cofinitely essentialsupplemented modules are more generalized than cofinitelysupplemented modules. Every essential supplemented module iscofinitely essential supplemented and every finitely generated cofinitelyessential supplemented module is essential supplemented. Let M be acofinitely essential supplemented R-module. If every nonzero submoduleof M is essential in M, then M is cofinitely supplemented. It is provedthat every factor module and every homomorphic image of a cofinitelyessential supplemented module are cofinitely essential supplemented. Itis also proved that any sum of cofinitely essential supplementedmodules is cofinitely essential supplemented. Let M be a cofinitelyessential supplemented module. Then M/RadM have no proper cofiniteessential submodules. Let M be a cofinitely essential supplemented R-module. Then every M-generated R-module is cofinitely essentialsupplemented. Let R be any ring. Then R R is essential supplemented ifand only if every R-module is cofinitely essential supplemented.

Bu çalışmada dual sonlu büyük tümlenmiş modüller tanımlandıve bu modüllerle ilgili birtakım özellikler incelendi. Bu çalışmada ayrıcabütün halkalar birimli ve bütün modüller de üniter sol modüllerdir. Mbir R-modül olsun. Eğer M modülünün her dual sonlu büyük altmodülü M içinde bir tümleyene sahipse M modülüne bir dual sonlubüyük tümlenmiş (veya kısaca dual sonlu e-tümlenmiş) modül denir.Kolayca görebiliriz ki her dual sonlu tümlenmiş modül dual sonlubüyük tümlenmiştir. Bundan dolayı dual sonlu büyük tümlenmişmodül dual sonlu tümlenmiş modülden daha geneldir. Her büyüktümlenmiş modül dual sonlu büyük tümlenmiştir ve her sonlu üretilmişdual sonlu büyük tümlenmiş modül büyük tümlenmiştir. M bir dualsonlu büyük tümlenmiş modül olsun. Eğer M modülünün sıfırdan farklıher alt modülü M’de büyükse M dual sonlu büyük tümlenmiştir. Dualsonlu büyük tümlenmiş modüllerin her bölüm modülü ve herhomomorfik görüntüsünün dual sonlu büyük tümlenmiş olduğugösterildi. Bu çalışmada ayrıca dual sonlu büyük tümlenmiş modüllerinherhangi toplamının da dual sonlu büyük tümlenmiş olduğu gösterildi.M bir dual sonlu büyük tümlenmiş modül olsun. Bu durumda M/RadMmodülünün hiçbir dual sonlu büyük alt modülü yoktur. M bir dualsonlu büyük tümlenmiş modül olsun. Bu durumda her M-üretilmişmodül dual sonlu büyük tümlenmiştir. R bir halka osun. Bu durumdaR R R-modülünün büyük tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul herR-modülün dual sonlu büyük tümlenmiş olmasıdır.