Klasik ve *-kalkülüse göre bikompleks dizi uzayları ve bazı özellikleri

Abstract

Altı bölümden oluşan bu tez çalışmasının amacı; bikompleks sayılar kullanılarak tanımlanan dizi uzaylarında bazı topolojik ve geometrik özellikleri vermek ve Newtonyen olmayan kalkülüse göre bikompleks sayıları inşa ederek yine ilgili dizi uzaylarında topolojik ve geometrik problemlere temel oluşturacak bazı sonuçları elde etmektir. Tezin birinci bölümünde, bikompleks sayıların ve dizi uzaylarının kısa bir tarihçesine değinilmiş, son zamanlarda yapılan bilimsel çalışmalardan bahsedilmiş ve tez konusu tanıtılmıştır. Tezin ikinci bölümünde, sonraki bölümlerde gerekli olan bazı temel tanım, teorem ve sonuçlar verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde, bikompleks sayılar ve bu sayıların reel değerli Öklid normu kullanılarak bikompleks dizi uzayları tanımlanmış ve bu uzayların tamlık özelliğinin sağlandığı ispatlanmıştır. Buna bağlı olarak hem topolojik hem cebirsel bir özellik olan bikompleks sayılar cebiri üzerindeki Banach modül yapısının incelenmesinin yanı sıra solidlik, ayrılabilirlik gibi bazı diğer topolojik özellikler ve kesin konvekslik, düzgün konvekslik gibi bazı geometrik özellikler araştırılmıştır. Tezin dördüncü bölümünde, yine bikompleks sayılar ve bu sayıların hiperbolik değerli k-normu kullanılarak bikompleks dizi uzayları inşa edilmiş ve bu uzayların üzerlerindeki hiperbolik değerli normlara göre tamlık özelliğinin sağlandığı ispatlanmıştır. Bikompleks sayılar cebiri üzerindeki Banach modül yapısı bikompleks cebirler kullanılarak hiperbolik değerli norma göre tanımlanmış ve bu yapı hiperbolik değerli norma göre bikompleks sayılar bikompleks cebiri üzerinde Banach bikompleks modül diye isimlendirilmiştir. Önceki bölümdeki tüm problemler hiperbolik değerli norma göre yeniden oluşturulmuş ve çözülmüştür. Tezin beşinci bölümünde, Newtonyen olmayan bikompleks kurulumun temeli olarak, hem bikompleks sayıların hem de Newtonyen olmayan kompleks sayıların bir genelleştirilmesi olan Newtonyen olmayan bikompleks sayılar tanımlanmış ve Newtonyen olmayan bikompleks sayılar kümesinin bir quasi-Banach cebiri olduğu gösterilmiştir. Ayrıca *-bikompleks dizilerden oluşan Lebesgue dizi uzayları inşa edilmiş ve bu uzayların üzerindeki Newtonyen olmayan reel değerli *-normuna göre Newtonyen olmayan tamlık özellikleri incelenmiştir. Tezin son bölümünde, tezden elde edilen sonuçlar sıralanmış ve çeşitli önerilere yer verilmiştir.

The aim of this thesis consisting six parts is to give some topological and geometric properties in some sequence spaces defined using bicomplex numbers and to obtain some results that will form the basis of topological and geometric problems in related sequence spaces by constructing bicomplex numbers in the sense of nonNewtonian calculus. In the first part of the thesis, a brief historical background of bicomplex numbers and sequence spaces is given, recent scientific studies are mentioned and the topic of the thesis is introduced. In the second part of the thesis, some basic definitions, theorems and results which are needed in the further parts are given. In the third part of the thesis, by using bicomplex numbers and the real valued Euclid norm of these numbers, bicomplex sequence spaces are defined and it has been proved that these spaces hold the completeness property. Accordingly, in addition to the examination of the Banach module structure on the algebra of bicomplex numbers, which is both topological and algebraic properties, some of other topological properties such as solidity, seperability and some geometric properties such as strictly convexity, uniformly convexity are investigated. In the fourth part of the thesis, by using bicomplex numbers and the hyperbolic valued k-norm of these numbers, bicomplex sequence spaces are establihed and it has been proved that these spaces hold the completeness property with respect to the hyperbolic valued norm on them. Also, Banach modules on the algebra of bicomplex numbers with respect to the hyperbolic valued norm are defined in bicomplex setting by using bicomplex algebras and it is called a Banach bicomplex module on the bicomplex algebra of bicomplex numbers with respect to hyperbolic valued norm. All problems in the previous part have been reconstructed and solved with respect to the hyperbolic valued norm. In the fifth part of the thesis, as the basis of the non-Newtonian bicomplex setting, non-Newtonian bicomplex numbers are defined as a generalization of both bicomplex numbers and non-Newtonian complex numbers and it has been showed that the set of non-Newtonian bicomplex numbers is a quasi-Banach algebra. Also, Lebesgue sequence spaces of *-bicomplex numbers are constructed and it has been examined that these spaces hold the completeness property with respect to the nonNewtonian real valued *-norm on them. In the last part of the thesis, the results which are obtained from the thesis are listed and some proposals are discussed.