Bir adi diferensiyel operatörün bazı spektral özellikleri / Ercan Tunç; Danışman Hakan Avcı.

Abstract

Bu Doktora Tezinde ikinci mertebeden adi diferensiyel denklemler için bir sınır değer geçiş problemi incelenmiştir. Araştırılan problemin esas farklandırıcı özelliği denklemin genelde süreksiz katsayılı olması, ayrıca sınır şartlarına süreksizlik noktasındaki geçiş şartları olarak adlandırılan daha iki şartın eklenmesidir. Bununla birlikte özdeğer parametresi sadece diferensiyel denklemde değil , aynı zamanda sınır şartlarının birinde de bulunmaktadır. Bu çalışmada araştırılan sınır değer geçiş probleminin (SDGP'nin) esas spektral özellikleri incelenmiştir. Bulunan yeni sonuçlar Bulgular isimli bölümde sunulmuştur. Doktora Tez çalışmamız Bölüm ve alt bölümler biçiminde düzenlenmiştir.1."Giriş" bölümünde araştırılan problemin teorik ve pratik önemi uygulama alanları ve güncelliği esaslandırılmıştır.2."Literatür Özeti" bölümünde Tez konusunun tarihi ve konu ile yakından ilgili olan literatür hakkında kısa ve öz bilgilere yer verilmiştir. 3."Genel Bilgiler" bölümünde çalışmamız boyunca yararlandığımız tanım ve öneriler hakkında bilgilere yer verilmiştir. 4."Materyal ve Metot" bölümünde kaynak olarak yararlandığımız kitap ve makaleler hakkında ve ayrıca uyguladığımız esas yöntemler hakkında kısa bilgi verilmiştir. Çalışmamız da bulduğumuz yeni sonuçlar. 5. "Bulgular "isimli bölümde sunulmuştur. Bu bölüm alt bölümler halinde düzenlenmiştir. 5.1 alt bölümünde Tez konumuz olan sınır-değer-geçiiş prolemi ifade edilmiştir. 5.2 alt bölümün de Fonksiyonel Analiz yöntemlerinden yararlanılabilmesi amacı ile verilen SDGP'ne özel olarak iki bileşenli bir Hilbert uzayı kurulmuş ve bu Hilbert uzayında bir A operatörü tanımlanmıştır, öyle ki bu operatörün özdeğerleri verilmiş problemin özdeğerleri ile özelementlerin birinci bileşenleri ise verilmiş problemin özfonksiyonları ile aynı olsun.5.3.altbölümünde özdeğer ve özfonksiyonların bazı temel özellikleri bulunmuştur.5.4.altbölümünde çalışmamızın sonraki altbölümleri için temel olan özel çözüm fonksiyonları kurulmuştur. 5.5.alt bölümünde probleme has olan bir karakteristik fonksiyon tanımlanarak bu fonksiyonun sıfır yerleri ile özdeğerlerin çakıştığı ispatlanmıştır. 5.6.altbölümünde temel çözüm fonksiyonları ile özfonksiyonlar arasındaki bağıntı bulunarak özfonksiyonların ve uygun özelementlerin normları için önemli formüller elde edilmiştir. 5.7.altbölümünde İntegral ve İntegro-Diferensiyel Denklemler Teorisinin yöntemleri ile temel çözüm fonksiyonlarından birinin özdeğer parametresinin büyük değerleri için asimptotik davranışı incelenmiştir. 5.8. altbölümünde karakteristik fonksiyonun asimptotik davranışı incelenmiştir. 5.9. altbölümünde verilmiş SDGP-nin özdeğerleri için asimptotik formüller bulunmuştur. 5.10.altbölümünde özdeğerler için bulunan asimptotik formüllerden yararlanılarak uygun özfonksiyonlar için asimptotik formüller elde edilmiştir. 5.11.altbölümünde özfonksiyonların normları asimptotik olarak değerlendirilmiştir. 5.12 ve 5.13. altbölümlerinde normlandırılmış özfonksiyonlar ve özelementler sistemleri için asimptotik formüller bulunmuştur. 5.14. altbölümünde verilmiş probleme uygun homojen olmayan problemin çözümünün varlığı ve tekliği ispatlanmış ve ayrıca çözüm fonksiyonunu (yani rezolventi) temel çözüm fonksiyonları ile ifade eden formül elde edilmiştir. 5.15. altbölümünde Green fonksiyonu kurulmuştur. 5.16.altbölümünde A operatörünün Rezolvent Operatörü ile Green fonksiyonu arasındaki bağıntıyı ifade eden formül çıkarılmıştır. 5.17. altbölümünde Rezolvent Operatörünün normu değerlendirilmiş ve A operatörünün kendine eşlenik olduğu ispatlanmıştır. 5.18. altbölümünde özfonksiyonlar sisteminin tamlık ve minimallik özellikleri araştırılarak özfonksiyonlar sisteminin serisine açılım teorimi ispatlamıştır.6."Tartışma" isimli bölümde ise Tezde bulduğumuz bilimsel sonuçlar literatürde bilinen sonuçlarla mukayese edilmiştir.