⨁-Tümlenmiş ve Rad-⨁-Tümlenmiş Kafesler

Abstract

Bu tez çalışmasında ⨁-tümlenmiş modül ve Rad-⨁-tümlenmiş modül kavramları kafes teorisine genelleştirilerek birtakım sonuçlar elde edilmiştir. Tezin Bulgular ve Tartışma bölümü yedi alt kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda ⨁-tümlenmiş kafes tanımı verilerek bu kavramla ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. L bir kafes ve 1 ≤ i ≤ n için a_i ∈ L olmak üzere 1v= a_1 ⨁ a_2 ⨁…⨁ a_n olsun. Eğer 1 ≤ i ≤ n için a_i/0 bölüm alt kafesi ⨁-tümlenmiş ise L de ⨁-tümlenmiştir. İkinci kısımda güçlü ⨁-tümlenmiş kafesler tanımlanarak L bir güçlü ⨁-tümlenmiş kafes olmak üzere L'nin her a direkt toplam teriminin oluşturduğu a/0 bölüm alt kafesinin de bir güçlü ⨁-tümlenmiş kafes olduğu ispatlandı. Üçüncü kısımda dual sonlu ⨁-tümlenmiş kafes tanımı ile birlikte bir takım özellikleri verilmiştir. Dördüncü kısımda güçlü dual sonlu ⨁-tümlenmiş kafes tanımı yapıldı. L dual sonlu tümlenmiş ise, 1/r(L) güçlü dual sonlu ⨁-tümlenmiş olduğu ispatlandı. Beşinci kısımda Rad-⨁-tümlenmiş kafes kavramına yer verildi. L bir kafes, a, b ∈ L ve 1 = a ⨁ b olsun. Bu takdirde b/0 bölüm alt kafesinin Rad-⨁-tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul ∀x∈ 1/a elemanı için L kafesinin y ∈ b/0, 1 = x ∨ y ve x ∧ y ≤ r(L) olacak şekilde bir y direkt toplam teriminin bulunmasıdır. Altıncı kısımda güçlü Rad-⨁-tümlenmiş kafes kavramı tanımlandı. L bir güçlü Rad-⨁-tümlenmiş kafes olmak üzere L'nin her a direkt toplam teriminin oluşturduğu a/0 bölüm alt kafesinin de güçlü Rad-⨁-tümlenmiş olduğu gösterildi. Yedinci kısımda, tanımları verilen kafesler için çeşitli örnekler verilmiştir.

In this work, ⨁-supplemented and Rad-⨁-supplemented modules are generalized to lattice theory and investigated some properties of these lattices. The Findings chapter of the thesis consists of seven sections. In the first section, the definition of ⨁-supplemented lattice is given and obtained some results about these lattices. Let L be a lattice and 1 = a_1 ⨁ a_2 ⨁…⨁ a_n. If a_i/0 is ⨁-supplemented for every i = 1, 2,..., n then L is ⨁-supplemented. In the second section, strongly ⨁-supplemented lattices are defined and shown that, if L be a strongly ⨁-supplemented lattice then for every direct summand of L , the quotient sublattice a/0 is strongly ⨁-supplemented. In the third section, the definition of cofinitely ⨁-supplemented lattices and some properties of these lattices are given. In the fourth section, strongly cofinitely ⨁-supplemented lattice is defined. It is proven that, if L is a cofinitely supplemented lattice, then 1/r(L) is strongly cofinitely ⨁-supplemented. In the fifth section, the concept of Rad-⨁-supplemented lattice is given. Let L be a lattice, a, b ∈ L and 1 = a ⨁ b. Then b/0 is Rad-⨁-supplemented if and only if for every x ∈ 1/a, there exists a direct summand y of L such that y ∈ b/0, 1 = x ∨ y and x ∧ y ≤ r(L). In the sixth section, strongly Rad-⨁-supplemented lattice is defined. It is shown that, if L is a strongly Rad-⨁-supplemented lattice, then the quotient sublattice a/0 is strongly Rad-⨁-supplemented for every direct summand a of L. In the seventh section, some examples are given.