Lebesgue-Nagell Diophantine Denklemlerinin Çözümleri

Abstract

Bu çalışmada özel bir üstel diophantine denklem tipi olan Lebesgue-Nagell Diophantine Denklemlerinin çözümleri araştırılmıştır. Bu çalışmayı dört bölüme ayırmak mümkündür. Birinci bölümde diophantine denklemlerin ortaya çıkışı ve gelişim sürecine dair bir literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde bilinmesi gereken bazı genel tanım ve ön bilgiler verilmiş, ardından bu tip denklemlerin çözümünde kullanılacak olan sayı cisimlerinin aritmetiği ve ideal teorisi incelenmiştir. Daha sonra Lucas ve Lehmer dizileri hakkında genel bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde Lebesgue-Nagell Diophantine Denklemlerinin en genel hali olan denkleminin aralığındaki bazı değerleri için çözümler elde edilmiş ve elde edilen bu çözümler bir tabloda gösterilmiştir. Son bölümde denkleminin ve tek sayısı için durumları incelenmiş, ayrıntılı çözümleri verilmiştir.

In this study, the solutions of Lebesgue-Nagell Diophantine Equation which is a specific type of exponential diophantine equations are being examined. It is possible to separate this study into four parts. In the first chapter, a literature summary about occurrance and development process of diophantine equations is given. In the second chapter, some definitions and preliminary informations are given, then theory of ideals and the arithmetic of number fields which will be used to find the solutions of these type of equations are examined. Thereafter, basic informations concerning Lucas and Lehmer sequences are given. In the third chapter, solutions of certain values in interval of the equation which is the most general case of Lebesgue-Nagell Diophantine Equations are obtained and these solutions are expressed in a diagram. In the last chapter, all solutions of the equation are examined and given in detail when the cases and where m is an odd integer.