Bir Adi Diferensiyel Operatörün Bazı Spektral Özellikleri

Abstract

BİR ADİ DİFERENSİYEL OPERATÖRÜN BAZI SPEKTRAL ÖZELLİKLERİ ÖZET Bu Doktora Tezinde ikinci mertebeden adi diferensiyel denklemler için bir sınır değer geçiş problemi incelenmiştir. Araştırılan problemin esas farklandıncı özelliği denklemin genelde süreksiz katsayılı olması, ayrıca sınır şartlarına süreksizlik noktasındaki geçiş şartlan olarak adlandırılan daha iki şartın eklenmesidir. Bununla birlikte özdeğer parametresi sadece diferensiyel denklemde değil, aynı zamanda sımr şartlarının birinde de bulunmaktadır. Bu çalışmada araştırılan sınır değer geçiş probleminin (SDGP'nin) esas spektral özellikleri incelenmiştir. Bulunan yeni sonuçlar, Bulgular isimli bölümde sunulmuştur. Doktora Tez çalışmamız Bölüm ve alt bölümler biçiminde düzenlenmiştir. 1. ' Giriş ;i bölümünde araştırılan problemin teorik ve pratik önemi, uygulama alanları ve güncelliği esaslandınlmıştır. 2. ' Literatür Özeti '' bölümünde Tez konusunun tarihi ve konu ile yakından ilgili olan, literatür hakkında kısa ve öz bilgilere yer verilmiştir. 3. ' Genel Bilgiler ' bölümünde çalışmamız boyunca yararlandığımız tanım ve öneriler hakkında bilgilere yer verilmiştir. 4. ' Materyal ve Metot ' bölümünde kaynak olarak yararlandığımız kitap ve makaleler hakkında ve ayrıca uyguladığımız esas yöntemler hakkında kısa bilgi verilmiştir. Çalışmamız da bulduğumuz yeni sonuçlar, 5. ' Bulgular ' isimli bölümde sunulmuştur. Bu bölüm alt bölümler halinde düzenlenmiştir. 5.1 alt bölümünde Tez konumuz olan sınır- değer- geçiş problemi ifade edilmiştir. 5.2 alt bölümün de Fonksiyonel Analiz yöntemlerinden yararlanılabilinmesi amacı ile verilen SDGP'ne özel olarak iki bileşenli bir Hubert uzayı kurulmuş ve bu Hubert uzayında bir A operatörü tanımlanmıştır, öyle ki, bu operatörün özdeğerleri verilmiş problemin özdeğerleri ile, özelementlerin birinci bileşenleri ise verilmiş problemin özfonksiyonlan ile aynı olsun. 5.3. altbölümünde özdeğer ve özfonksiyonların bazı temel özellikleri bulunmuştur.Ill 5.4. altbölümünde çalışmamızın sonraki altbölümleri için temel olan özel çözüm fonksiyonları kurulmuştur. 5.5. alt bölümünde probleme has olan bir karakteristik fonksiyon tanımlanarak, bu fonksiyonun sıfır yerleri ile özdeğerlerin çakıştığı ispatlanmıştır. 5.6. altbölümünde temel çözüm fonksiyonları ile özfonksiy onlar arasındaki bağıntı bulunarak özfonksiyonların ve uygun özelementlerin normları için önemli formüller elde edilmiştir. 5.7. altbölümünde integral ve İntegro-Diferensiyel Denklemler Teorisinin yöntemleri ile temel çözüm fonksiyonlarından birinin özdeğer parametresinin büyük değerleri için asimptotik davranışı incelenmiştir. 5.8 altbölümünde karakteristik fonksiyonun asimptotik davranışı incelenmiştir. 5.9. altbölümünde verilmiş SDGP-nin özdeğerleri için asimptotik formüller bulunmuştur. 5.10. altbölümünde özdeğerler için bulunan asimptotik formüllerden yararlanılarak uygun özfonksiy onlar için asimptotik formüller elde edilmiştir. 5.11. altbölümünde özfonksiyonların normları asimptotik olarak değerlendirilmiştir. 5.12 ve 5.13. altbölümlerinde normlandırılmış özfonksiyonlar ve özelementler sistemleri için asimptotik formüller bulunmuştur. 5.14. altbölümünde verilmiş probleme uygun homojen olmayan problemin çözümünün varlığı ve tekliği ispatlanmış ve ayrıca çözüm fonksiyonunu(yani rezolventi) temel çözüm fonksiyonları ile ifade eden formül elde edilmiştir. 5.15. altbölümünde Green fonksiyonu kurulmuştur. 5.16. altbölümünde A operatörünün Rezolvent Operatörü ile Green fonksiyonu arasındaki bağıntıyı ifade eden formül çıkarılmıştır. 5.17. altbölümünde Rezolvent Operatörünün normu değerlendirilmiş ve A operatörünün kendine eşlenik olduğu ispatlanmıştır. 5.18. altbölümünde özfonksiyonlar sisteminin tamlık ve minirnallik özellikleri araştırılarak, özfonksiyonlar sisteminin serisine açılım teoremi ispatlanmıştır. 6. ' Tartışma' isimli bölümde ise Tezde bulduğumuz bilimsel sonuçlar literatürde bilinen sonuçlarla mukayese edilmiştir.IV Anahtar kelimeler: Sınır-değer problemleri, süreksiz sınır-değer problemleri, geçiş şartlan, özdeğerler, özfonksiyonlar, rezolvent, rezolvent operatörü, Green fonksiyonu, asimptotik davranış.SOME SPECTRAL PROPERTIES OF A ORDINARY DIFFERENTIAL OPERATOR ABSTRACT In this thesis, consideration is given to the second order ordinary differential equations for boundary - value - transmission problem. The original part of the problem is the discontinuity in the coefficient of the boundary - value - transmission problem. In addition to this, there are two conditions that are added to the conditions named as boundary conditions at transmission point. Moreover, the eigen value parameter is not only included in the diferential equation but it is also included in one of the boundary conditions. This work examines the principle spectral properties of boundary - value - transmission problem. The obtained results are presented in the results chapter. The plan of the thesis is formed as follows. 1) The importance of the problem both theoretically and practically is given in the introduction chapter. 2) The literature survey and some anecdotes are given in the second chapter. 3) In the general knowledge chapter, some theorem and definitions used in the thesis are summarised. 4) The methods and sources used in this thesis are introduced in material and method chapter. 5) The results chapter :s dived.ec in to sections. In subsection 5.1. In