Yüksek Mertebeden Doğrusal Zamanla Değişen Diferansiyel Sistemlerin Komütativitesi

Abstract

Bu araştırmada, sıfır ve sıfır olmayan başlangıç koşullarına sahip, yüksek mertebeden sürekli zamanla değişen diferansiyel sistemlerin komütativitesi incelenmistir. Altıncı mertebeden bir A diferansiyel sistem verildiğinde, bunun komütatif eşleniğin, yani m≤6 mertebesinde yeni bir B diferansiyel sistemi bulunmuştur. Altıncı mertebeden sürekli zamanla değişen lineer sistemlerin komütativitesi için gerekli ve yeterli koşullar elde edilmiştir. Bu tezde elde edilen açık sonuçlar, literatürde yer alan komütativite teorisinin genişletilmesine yardımcı olmaktadır. Bu araştırma aynı zamanda başlangıç koşullarında veya parametrelereki değişikliklerden kaynaklanan hassasiyet problemlerini ve ayrıca dış gürültünün bir sonucu olarak ortaya çıkan bozulmaları da ele almaktadır. Sonuçlar, Matlab Simulink aracı ve Wolfram Mathematica 11 kullanılarak çözülen örnekler tarafından doğrulanmıştır. Ayrıştırma, reel mühendislik problemlerini çözmek ve bir sistemin kararlılığını arttırmak için birçok diferansiyel sistemde kullanılan önemli bir araçtır. Yüksek mertebeden bir lineer sistemin daha düşük mertebeden komütatif çiftler halinde parçalanmasını içerir. Bu tez, dördüncü mertebeden herhangi bir doğrusal zamanla değişen sistemin ikinci mertebeden iki alt sisteme ayrıştırılması için gerekli ve yeterli koşulları ifade eder. Sıfır olmayan başlangıç koşullarına gelince, komütatif ayrıştırmayı sağlamak için ek şartlar türetilmiştir. Ayrıca, dördüncü mertebeden lineer zamanla değişen sistemleri üçüncü ve birinci mertebeden komütatif çiftlere ayrıştırmak için açık formüler elde edilmiştir. Yöntem, bozulma ve hassasiyetin sistemler üzerindeki etkisini inceler. Teorik sonuçlar çeşitli örnekler ele alınarak desteklenmiştir.In the present research, it is studied commutativity of higher-order continuous time-varying differential systems with zero and non-zero initial conditions. Given a sixth-order differential system A, its commutative pair, that is a new differential system B of order m≤6, is found. Necessary and sufficient conditions for commutativity of sixth-order continuous time-varying linear systems are derived. The explicit results obtained in the research help to extend the commutativity theory present in the literature. This research also addresses the problem of sensitivity due to changes in initial conditions or parameters, and also disturbance as a result of external noise. The results are well verified by examples worked by using Matlab Simulink tool and Wolfram Mathematica 11. Decomposition is an important tool that is used in many differential systems for solving real engineering problems and improving the stability of a system. It involves breaking down of a high-order linear system into lower-order commutative pairs. This thesis explicitly expresses necessary and sufficient conditions for the decomposition of any kind of fourth-order linear time-varying system as a commutative pairs of two second-order systems. Regarding the non-zero initial conditions, additional requirements are derived in order to satisfy the decomposition processed. Further, explicit formulas for reducing fourth-order linear time-varying systems into third and first-order commutative pairs are derived. The method points out the effect of disturbance and sensitivity on the systems. The theoritical results are supported by considering various examples.