R-İnjektif Modüller

Abstract

M ve N iki R-modül olsun. Eğer RadN≤g(K) olan her g:K→N R-modül monomorfizması ve her f: K→M R-modül homomorfizması için hog=f olacak şekilde en az bir h: N→M R-modül homomorfizması varsa M modülüne bir radikal N-injektif (kısaca r-N-injektif) modül denir. Eğer M modülü her T R-modülü için radikal T-injektif ise M modülüne bir radikal injektif (kısaca r-injektif) modül denir. Bu tez çalışmasında r-injektif modül kavramı ele alındı ve bu kavramla ilgili birtakım özellikler incelendi. Bu çalışmada tüm modüller birimli halka üzerinde olup üniter modüllerdir. Açıktır ki N bir R-modül olmak üzere her N-injektif modül r-N-injektiftir. Ancak bunun tersi her zaman doğru olmayabilir. M ve N iki R-modül ve N modülünün her K alt modülü K+RadN modülünün bir direkt toplam terimi olsun. Bu durumda M modülünün r-N-injektif olması için gerek ve yeter koşul M modülünün N-injektif olmasıdır. M ve N iki R-modül olsun. Bu durumda M modülünün r-N-injektif olması için gerek ve yeter koşul RadN≤K olan her K≤N ve her f: K→M R-modül homomorfizması için i: K→N içerme dönüşümü olmak üzere hoi=f olacak şekilde bir h: N→M R-modül homomorfizmasının bulunabilmesidir. N bir R-modül, K≤N ve RadN≤K olsun. Eğer K modülü r-N-injektif ise K modülü N'nin bir direkt toplam terimi olur. Bu tez çalışmasında N bir R-modül olmak üzere r-N-injektif modüllerin çarpımının ve direkt toplamının da r-N-injektif olduğu gösterildi. Ayrıca r-N-injektif bir modülün her direkt toplam teriminin de r-N-injektif olduğu gösterildi. N bir R-modül olsun. Bu durumda her R-modülün r-N-injektif olması için gerek ve yeter koşul N modülünün RadN'yi kapsayan her alt modülünün N'nin bir direkt toplam terimi olmasıdır. R bir halka olsun. Bu durumda her R-modülün r-injektif olması için gerek ve yeter koşul her R-modülün injektif olmasıdır. Tezin sonunda konu ile ilgili dört tane örnek verilmiştir. Anahtar Sözcükler: Küçük alt modül, Radikal, Tam dizi, İnjektif modül.

Let M and N be two R-modules. If for each g: K→N R-module monomorphism satisfying RadN≤g(K) and every f: K→M R-module homomorphism, there exists at least one h: N→M R-module homomorphism such that hog=f, then M is called a radical N-injective (briefly, r-N-injective) module. If the module M is radical T-injective for every R-module T, then M is called a radical injective (briefly, r-injective) module. In this thesis, the concept of r-injective module is considered and some properties related to this concept are investigated. All modules are unitary modules over the ring with unity, in this study. It is clear that for an R-module N, every N-injective module is r-N-injective. But the converse is not true in general. Let M and N be two R-modules, and let every submodule K of N be a direct summand of K+RadN. In this case, M is r-N-injective if and only if M is N-injective. Let M and N be two R-modules. In this case, M is r-N-injective if and only if for every K≤N with RadN≤K and every f: K→M R-module homomorphism, there exists an R-module homomorphism h: NM such that hoi=f with an inclusion map i: K→N. Let N be an R-module, K≤N and RadN≤K. If K is r-N-injective, then K is a direct summand of N. In this thesis, it is shown that the product and the direct sum of r-N-injective modules are also r-N-injective, given that N is an R-module. Furthermore, it is shown that every direct summand of an r-N-injective module is also r-N-injective. Let N be an R-module. In this case, every R-module is r-N-injective if and only if every submodule of N containing RadN is a direct summand of N. Let R be a ring. In this case, every R-module is r-injective if and only if every R-module is injective. Four examples related to the topic are provided at the end of the thesis. Keywords: Small submodule, Radical, Exact sequence, Injective module.