Neuts'un Matris Geometrik Yöntemi İle Hizmet Süresi Hipo-üstel Dağılıma Uyan Kuyruk Modelinin Ergodiklik Sonuçları ve Performans Ölçülerinin Elde Edilmesi

Abstract

Kuyruk sistemlerinde genelde gelişler arası süre ve hizmet süresi üstel kabul edilmektedir. Bu durum doğum ölüm süreci olarak adlandırılır. Ama birçok gerçek kuyruk modellerinde bu varsayım sağlanmaz. Dolayısı ile üstel dağılımın belleksizlik özelliğinden uzaklaşmadan daha genel dağılımlar tanımlanabilir. Bu dağılımlara genel olarak faz dağılımları denir. Bu faz dağılımlarından bir tanesi de hipo-üstel dağılımdır. Servis süresine ait göreli varyans 1'den küçük olduğu durumlarda hizmet süresini modellemek için hipo-üstel dağılım kullanılabilir. Bu tezde gelişler arası süre 𝜆 parametresi ile üstel dağılıma ve servis süresi hipo-üstel dağılıma uyan bir kuyruk modeli incelenmiştir. Bu modelde sistemdeki müşteri sayısı ve hizmet alan müşterinin hangi fazda olduğunun gösteren (𝑘, 𝑖) ikilisi için Markov eşitlik kurulabilir. Böylece geçiş oranları matrisi tipik bloklu üçgensel forma sahiptir. Bu alt matrisler yardımı ile elde edilen ardışık 𝑅𝑙 matrisinin monoton artan ve 𝑅 gibi bir matrise yakınsadığı Neuts (1981) tarafından gösterilmiştir. Bu 𝑅 matrisi yardımı ile sisteme ait sabit durum olasılıklarının nümerik bir çözümü elde edilmiştir ve sisteme ait performans ölçüleri bulunmuştur. Anahtar Kelimeler: Kuyruk sistemleri, Poisson gelişler, Markov zinciri, Faz tipi dağılımlar, Performans ölçümleri

In queueing system the interarrival and service times are usually assumed as exponentially distributed. This case is named as birth-death process, but in real life this assumption is not valid in many queueing models. Hence, more general distributions can be determined with preserving the memoryless property of exponential distribution. These distributions are generally called as phase distributions and one of which is hypo-exponential distribution. When the squared coefficient variance of service time is less than 1, the hypo-exponential distribution can be used to model the service time. In this thesis a queueing model, in which arrivals are exponentially distributed with parameter 𝜆 and service time is hypo-exponentially distributed, is investigated. In this model a Markovian equality can be constructed for (𝑘, 𝑖) pair that indicates the number of customer in system and the phase in which the customer is being served. Therefore, the transition rate matrix is in block tri-diagonal form. Neuts (1981) showed that, the sequential matrix 𝑅𝑙 , which is obtained by using sub-matrices, is monotone increasing and converges to the matrix 𝑅. By using this 𝑅 matrix, a numerical solution of the steady-state probabilities of the system and the measure of performances are obtained. Key Words: Queueing systems, Poisson arrival, Markov chain, Phase-type distribution, performance measures