İkinci Aşaması Faz Tipli Olan Bir Tandem Kuyruk Modelinin Analizi

Abstract

Bu tezde iki aşamalı bir kuyruk modeli analiz edilmiştir. Bu aşamalardan birincisinde μ_1 parametreli üstel dağılımlı tek hizmet kanalı bulunmakta ve kanal önünde beklemeye müsaade edilmemekte, ikinci aşamaise iki fazlı paralel hizmet kanalları bulunmaktadır. Bu paralel kanalların hizmet süreleri μ_2 parametreli üstel hizmet süresine sahiptir. Sisteme gelen müşteri eğer birinci aşamadaki hizmet kanalı boş ise hizmetini alır. Eğer dolu ise sistemden ayrılır. Böylece birinci kaybolma gerçekleşmiş olur. Birinci aşamada hizmetini tamamlayan bir müşteri, eğer ikinci aşamadaki paralel faz kanallarının ikiside boş ise hizmetini almak için ikinci aşamadaki faz kanallarından birincisini veya ikincisini sırası ile α_1 ve α_2,(α_1+α_2=1) olasılıkları ile tercih eder. Eğer ikinci aşamadaki paralel faz kanallardan herhangi biri dolu ise müşteri sistemi terk eder ve ikinci kayıp meydana gelir. Birinci ve ikinci aşamada hizmetini tamamlayan müşteri sistemden ayrılır. Böylesi modelin diferansiyel ve fark denklemleri bulunmuş ve denge durumu (steady-state) olasılıkları yardımı ile sistemde ortalama müşteri sayısı ve sistemde ortalama bekleme süreleri elde edilmiştir. Birinci ve ikinci aşamadaki müşteri sayılarının bağımlı olduğu gösterildi. Ayrıca birinci ve ikinci kaybolma olasılıkları hesaplandı. Birinci aşamadaki kaybolma olasılığının sadece geliş akımına ve birinci aşamadaki hizmet süresine bağlı olduğu, ancakikinci aşamadaki hizmet süresine ve α_1, α_2 olasılıklarına bağlı olmadığı gösterildi. İkinci aşamadaki kaybolma olasılığı; olasılığının geliş akımına, birinci aşamadaki hizmet süresine ve ikinci aşamadaki paralel faz kanallarının hizmet sürelerine bağlı olduğu, fakat α_1, α_2 olasılıklara bağlı olmadığı gösterildi. Anahtar Kelimeler: Üç Boyutlu Markov Zinciri; Tandem Kuyruk Sistemi; Poisson Akımı; Faz Dağılımları; Kaybolma olasılığı.In this thesis a two-stage queuing model is analyzed. In the first of these two stages there is one service channel having exponential service time with μ_1 parameter and there is no waiting room in front of this channel. In the second stage there are two parallel service channels with exponential service time having parameter μ_2 The incoming customer has service if the first channel in the first stage is available else the customer leaves the system, so the first loss is occurs. When a customer has service in the first stage chooses first or second channels in the second stage with α_1 and α_2, (α_1 +α_2=1) probabilities respectively if both the channels in second stage is empty. If any of two channels in the second stage is busy then the customer leaves the system so the second loss occurs. A customer who has service in both stages leaves the system. The differential and difference equations of this model is obtained, mean customer number and mean waiting time in the system is found by the help of steady-state probabilities. It is shown that the customer numbers in first and second stages are dependent. First and second loss probabilities are calculated. It is figured out that the first loss depends on the arrival rate and service time in the first stage yet not depends on α_1, α_2 probabilities and the service time in the second stage. On the other hand it is shown that the second loss depends on arrival rate and both the service times of the channels in both stages but independent from α_1 and α_2 probabilities.