Büyük İnjektif Modüller

Abstract

Bu tez çalışmasında büyük injektif modül kavramı tanımlandı ve bu kavramla ilgili birtakım özellikler incelendi. Bu çalışmada tüm modüller birimli halka üzerinde olup üniter modüllerdir. K bir R-modül olmak üzere büyük K-injektif modüllerin direkt çarpımının ve direkt toplamının da büyük K-injektif olduğu gösterildi. Ayrıca büyük K-injektif modülün her direkt toplam teriminin de büyük K-injektif olduğu gösterildi. K bir R-modül ve L bir büyük K-injektif R-modül olsun. Bu durumda K'nın her büyük T alt modülü için L büyük T-injektif olur. L bir büyük K-injektif R-modül, g dönüşümü T'den K'ya bir R-modül monomorfizması ve g(T), K'nın bir büyük alt modülü olsun. Bu durumda L modülü büyük T-injektif olur. L bir büyük K-injektif R-modül olsun. Bu durumda K'nın her T alt modülü için L büyük K/T-injektif olur. L bir R-modül ve g, K'dan T'ye bir R-modül epimorfizması olsun. Eğer L büyük K-injektif ise L modülü büyük T-injektif olur. K bir R-modül olsun. Bu durumda her R-modülün büyük K-injektif olması için gerek ve yeter koşul K'nın her büyük alt modülünün büyük K-injektif olmasıdır. Ayrıca her R-modülün büyük K-injektif olması için gerek ve yeter koşul her R-modülün K-injektif olduğu da gösterildi. K ve L birer R-modül olsun. Bu durumda L modülünün büyük K-injektif olması için gerek ve yeter koşul her K-üretilmiş T modülü için L modülünün büyük T-injektif olmasıdır. L bir R-modül olsun. Bu durumda L modülünün büyük injektif olması için gerek ve yeter koşul L'nin büyük R-injektif olmasıdır. R bir halka olsun. Bu durumda her R-modülün büyük injektif olması için gerek ve yeter koşul R halkasının yarıbasit olmasıdır.

İn this thesis, essential injective modules are defined and some properties of these modules are investigated. All rings have identities and all modules are unital modules in this work. For an R-module K, it is proved that the product and the direct sum of essential K-injective modules is essential K-injective. İt is also proved that every direct summand of an essential K-injective module is essential K-injective. Let K be an R-module and L be an essential K-injective R-module. Then L is essential T-injective for every essential submodule T of K. Let L be an essential K-injective R-module, g be an R-module monomorphism from T to K and g(T) be an essential submodule of K. Then L is essential T-injective. Let L be an essential K-injective R-module. Then L is essential K/T-injective for every submodule T of K. Let L be an R-module and g be an R-module epimorphism from K to T. If L is essential K-injective, then L is essential T-injective. Let K be an R-module. Then every R-module essential K-injective if and only if every essential submodule of K is essential K-injective. It is also proved that every R-module is essential K-injective if and only if every R-module is K-injective. Let K and L be R-modules. Then L is essential K-injective if and only if L is essential T-injective for every K-generated T module. Let L be an R-module. Then L is essential injective if and only if L is essential R-injective. Let R be a ring. Then every R-module is essential injective if and only if R is semisimple.