Olasılık Metotlarının Polinomsal Yaklaşmada Kullanılması

Abstract

m OLASILIK METOTLARININ POLİNOMSAL YAKLAŞMADA KULLANILMASI ÖZET Bu çalışmanın amacı olasılık metotları ile yaklaşım teorisinin temel problemlerinin incelenmesi ve geliştirilmesidir. Hazırlanan bu çalışma üç ana başlık altında toplanmış olup ilk olarak giriş kısırımda konunun ana hatları verilerek literatür içerisindeki gelişimi anlatılmıştır. ikinci olarak metot ve materyal kısmında yaklaşım teorisinde sıkça kullanılan bazı operatörlerin beklenti operatörü olduğu belirtilmiş ve olasılık teorisinde önemli yeri olan bazı eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü olarak bulgular ve tartışma kısmında tezin orijinal kısmı verilmiştir. Burada ilk olarak Weierstrass yaklaşım teoreminin olasılık ispatı yapılmıştır. İkinci olarak Korovkin yaklaşım kriterlerinin olasılık yorumu yapılmış ve bu yorum yardımıyla King. Korovkin ve Feller teoremlerinin olasılık ispatı verilmiştir. Üçüncü olarak ise beklenti operatörü şeklinde gösterilebilen lineer pozitif operatörler sınıfı ele alınmıştır. Bu sınıftan alman beklenti operatörü ile sürekli fonksiyonun Taylor serisinin m-inci özel toplamı arasındaki farkın üst sınırını belirleyen iki teoremin olasılık teorisi yardımıyla ispatı verilmiştir. Ayrıca bu teoremler yardımıyla Durrmeyer polinomunun yaklaşım hızım belirleyen bir teorem ispatlanmıştır. Bu teoremler yaklaşım teorisinin bir takım sonuçlarını kapsadığından son olarak bu sonuçlardan bahsedilmiştir. Anahtar kelimeler: Lineer pozitif operatör, Dağılım fonsiyonu, Beklenti operatörü, Süreklilik modülü.

IV Polynomial Approximation by Probabilistic Methods Abstract The purpose of this study investigation and to be thinned to approximation theory by probabilistic methods. This study occurs three main headlines. Firstly in the introduction brief historical background and discussed the substructure of approximation theory. Secondly under material and method headline to determined the some operators are expection operator which are rather frequently approximation theory and some inequalyties which are important in proability theory are given. Thirdly under general remark and discussed headline the original part of this thesis is build. In this chapter firstly probabilistic proved the Weierstrass aproximation theorem. Secondly probabilistic interpretation of Korovkin approximation criterias are given. Thirdly the class of linear pozitive operators which are represented expection operator form is study. The degree of approximation of a continuous function and theirs derivatives by expection operators is obtained in the terms of modulus continuity of the m-th derivative of continuous function and of the moments of some random variable. Than the degree of approximation of the Durrmeyyer operator is to repaired. In particulur this generalizes some important result of approximation theory by many authors. Key words: Linear positive operators, Distribution function, Expectation operator, Modulus continuity.