Modules That Have a -supplement in Every Cofinite Extension

Abstract

Bu tezde; her dual sonlu genişlemesinde δ-tümleyene sahip modüller (kısaca (δ-CE) özelliğine sahip modüller) ve her dual sonlu genişlemesinde zayıf δ-tümleyene sahip modüller (kısaca (δ-CWE) sahip modüller) tanımlanarak bu cebirsel yapıların özelliklerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Bir M modülünün (δ-CEE) özelliğine sahip olması için gerek ve yeter koşul M nin her alt modülünün (δ-CE) özelliğine sahip olmasıdır. (δ-CEE) özelliğine sahip bir modül bol dual sonlu δ-tümlenmiştir ve her alt modülü de dual sonlu δ-tümlenmiştir. Basit modüller (δ-CE) özelliğine sahiptir. Bununla birlikte, projektif yarı basit modüller de (δ-CE) özelliğine sahiptir. δ-V halka üzerindeki bir M modülünün (δ-CE) özelliğine sahip olması için gerek ve yeter koşul M nin dual sonlu injektif olmasıdır. M bir modül, N de M nin M⁄N bölüm modülü Noetherian olacak şekilde bir alt modülü olmak üzere N ve M⁄N (δ-CE) özelliğine sahip ise M de (δ-CE) özelliğine sahiptir. M singüler modülü (δ-CE) özelliğine sahip ise M (CE) özelliğine sahiptir. Bir R halkasının δ-yarı mükemmel olması için gerek ve yeter koşul her sol R-modülün (δ-CE) özelliğine sahip olmasıdır. Kompozisyon serisine sahip her modül (δ-CE) özelliğine sahiptir. M modülünün her alt modülü (δ-CWE) özelliğine sahip ise M (δ-CWEE) özelliğine sahiptir. M (δ-CWE) özelliğine sahip bir modül ise her direkt toplam terimi de (δ-CWE) özelliğine sahiptir. Bir R halkasının δ-yarı lokal olması için gerek ve yeter koşul her R-modülün (δ-CWE) özelliğine sahip olmasıdır. Bunun bir sonucu olarak, bir R halkası üzerindeki her R-modülün dual sonlu zayıf δ-tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul modülün (δ-CWE) özelliğine sahip olmasıdır. δ-oyuk ve δ-lokal modüller de (δ-CWE) özelliğine sahiptir. Diğer taraftan yarı basit bir M modülü üzerinde (δ-CWE) özelliğine sahip olma ile (δ-CE) özelliğine sahip olma ifadeleri birbirine denktir.

In this thesis concepts of modules that have a δ-supplement in every cofinite extension (briefly modules with the property (δ-CE)) and modules that have a weak δ-supplement in every cofinite extension (briefly modules with the property (δ-CWE)) are introduced and determining of algebraic structure of these modules are purposed. A module M has the property (δ-CEE) if and only if every submodule of M has the property (δ-CE). A module with the property (δ-CEE) is ample cofinitely δ-supplemented and also every submodule is cofinitely δ-supplemented. Simple modules and projective semisimple modules have the property (δ-CE). For a module M that is over a δ-V ring has the property (δ-CE) if and only if M is cofinitely injective. Let M be a module and N be a submodule of M such that M⁄N is Noetherian. If N and M⁄N have the property (δ-CE) then so does M. If a singular module M has the property (δ-CE), then M has the property (CE). A ring R is δ-semiperfect if and only if every left R-module has the property (δ-CE). Every module that has a composition series has the property (δ-CE). If every submodule of M has the property (δ-CWE) then M has the property (δ-CWEE). Every direct summand of a module with the property (δ-CWE) has the property (δ-CWE). A ring R is δ-semilocal if and only if every R-module has the property (δ-CWE). If M is a δ-hollow module (or a δ-local module) then M has the property (δ-CWE). And it is shown that the concepts of modules that have a δ-supplement and weak δ-supplement in every cofinite extension coincide on semisimple modules.