Sınır Değer Problemlerinin Çözümü için Bazı Sayısal Metotlar

Abstract

Bu tez çalışmasında iki nokta sınır değer problemleri yaklaşık olarak çözümü yapılacaktır. Sınır değer problemlerini yaklaşık olarak çözmek için çeşitli yöntemler mevcut olup bunlardan bazıları varyasyonel metotlar, yarı analitik metotlar ve iyileştirme metotlarıdır. Varyasyonel metotlar arasında genelleştirilmiş varyasyonel ardışık tekrar metodu, yarı analitik metotlar arasında değiştirilmiş Taylor serisi metodu ve iyileştirme metotları arasında ise en küçük kareler metodu en çok bilinen ve sık olarak kullanılan metotlarıdır. Bu amaçla farklı mertebeden olacak şekilde doğrusal ve doğrusal olmayan sınır değer problemleri belirlenerek değiştirilmiş Taylor serisi metodu, genelleştirilmiş varyasyonel ardışık tekrar metodu ve en küçük kareler metodu tanıtılacak ve iki nokta sınır değer problemlerinin bu yöntemler ile polinom formda yaklaşık çözümü elde edilecektir. İlk olarak değiştirilmiş Taylor serisi metodu ile Taylor serisi formunda yarı analitik yakınsak polinom yaklaşım yapılacaktır. Ardından düzeltme fonksiyonelini yalnızca sol uç nokta yerine her iki uç noktayı da içerecek şekilde değiştirerek sınır değer problemleri için uygun bir varyasyonel ardışık tekrar metodu sunulacaktır. Böylece doğruluk, aralık boyunca hemen hemen aynı olacak ve çözüm aralığının sağ tarafında kötüleşmeyecektir. Son olarak en iyi iyileştirme metotlarından birisi olan en küçük kareler metodu ele alınacaktır. İki nokta sınır değer probleminin bu yöntemler ile polinom formda yaklaşık çözümü elde edilecektir. Sonuç olarak her üç metodun kullanımında çözümde önemli rol oynayan terim sayısı birbirine eşit alınarak yukarıda sözü edilen metotların iki nokta sınır değer problemlerinin çözümüne yeniden uygulanabilir olup olmadığı gözlemlenerek tablolar yardımıyla elde edilen sonuçlar verilecek ve grafiksel olarak sunumlar yapılacaktır. Her üç yöntemin verdiği sonuçlar birbirleri ile mukayese edilerek elde edilen sonuçların ne ölçüde güvenilir olduğu sorgulanacaktır.In this thesis, two point boundary value problems will be solved approximately. There are various methods to approximately solve boundary value problems, some of which are variational methods, semi-analytical methods and optimization methods. Among the variational methods, the generalized variational sequential repetition method, among the semi-analytical methods, the modified Taylor series method, and among the improvement methods, the least squares method are frequently used methods. For this purpose, linear and nonlinear boundary value problems of different orders will be determined, the modified Taylor series method, the generalized variational iteration method and the least squares method will be introduced, and the approximate solution of two-point boundary value problems in polynomial form will be obtained with these methods. First, a semi-analytical convergent polynomial approach in Taylor series form will be made with the modified Taylor series method. Then, a variational sequential repetition method suitable for boundary value problems will be presented by changing the correction functional to include both endpoints instead of only the left endpoint. Thus the accuracy will be about the same throughout the range and will not worsen on the right side of the solution range. Finally, the least squares method will be discussed. An approximate solution of the two-point boundary value problem in polynomial form will be obtained with these methods. As a result, by taking the number of terms that play an important role in the solution equally in the use of all three methods, it will be observed whether the mentioned methods can be re-applied to the solution of two-point boundary value problems, and the results obtained will be given with the help of tables and graphical presentations will be made. The results of all three methods will be compared with each other and it will be questioned to what extent the results obtained are reliable.