Hareketli Süreksizlik Noktalı Sturm-liouville Problemi

Abstract

Bu çalışmada, bir aralığın iç noktasının komşuluğunda parametreye bağlı süreksizlik noktalarına sahip yeni bir Sturm-Liouville problemi tanıtılmış ve bazı spektral özellikleri incelenmiştir. Bu çalışma dört bölüm halinde düzenlenmiştir. İlk bölümde; tezin amacı, problemin uygulama alanları ve literatürdeki sürekli ve süreksiz Sturm-Liouville problemleriyle ilgili çalışmalar kısaca belirtilmiştir. İkinci bölümde; bazı önemli tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bulgular ve tartışma bölümü olan üçüncü bölüm dokuz alt bölümden oluşmaktadır. Bu alt bölümlerde sırasıyla, problem tanıtılarak; özel bir Hilbert uzayı ve simetrik lineer bir operatör tanımlanmış; temel çözümler oluşturulmuş; çözümlerin integral denklemleri ve asimptotik açılımları elde edilmiş; karakteristik fonksiyonun asimptotik formülleri verilmiş; özdeğer ve özfonksiyonların asimptotik formülleri verilmiş; problemin Green fonksiyonu ve Rezolvent operatörü oluşturulmuş; özfonksiyonlar üzerine seri açılımları elde edilmiş ve süreksizlik noktalarının parametreye bağlı değişimlerini açıklayan bir örnek verilmiştir. Son bölümde; bu çalışmadan çıkartılabilecek sonuçlardan ve ileride yapılabilecek çalışmalardan bahsedilmiştir.

In this thesis, a new Sturm-Liouville problem is presented and some spectral properties are examined. The present problem has discontinuities which are defined depending on a parameter in the neighborhood of an interior point of the interval. This thesis is arranged in four chapters. In the first chapter, the aims and the applications areas of this thesis, the studies related to continuous and discontinuous Sturm-Liouville problems are briefly indicated. In the second chapter, some important definitions and theorems are stated. In the third chapter, which is findings and discussion chapter, consists of nine sub-sections. In these sub-sections, the problem is introduced; a special Hilbert space and a symmetric linear operator is defined; the fundamental solutions are constructed; integral equations and asymptotic expansions for the solutions are obtained; asymptotic formulas for characteristic function are given; asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions are given; Green function and Resolvent operator for the problem are constructed; expansions in terms of eigenfunctions are obtained and an example to show that variation of discontinuity points depending on the parameter is given, respectively. In the last chapter, the results that can be drawn from this thesis and the problems that can be studied in the future are mentioned.