3-Boyutlu Konformal Düz Sözde Uzaylarda Helikoidsel Yüzeylerin Açık Parametrizasyonları

Abstract

Bu tezde, konformal faktörleri üç tür genel silindirik fonksiyon ile ilişkili olan konformal sözde metrikli bazı konformal düz sözde uzaylarda belirlenmiş eğriliklere sahip dejenere olmayan helikoidsel yüzeyler için açık parametrizasyonları bulma problemi araştırıldı. Konformal düz sözde uzayda dönme ekseninin uzaysı, zamansı ve ışıksı karakterlerine karşılık olarak bulunan helikoidsel yüzeylerin açık parametrizasyonları ile ilgili örneklere yer verildi. Bu çalışma yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde hem helikoidsel yüzeylerin hemde konformal düz uzayların kısa bir tarihçesinden ve tezin amacından bahsedildi. İkinci bölümde konformal düz uzaylar ve helikoidsel yüzeyler ile ilgili literatürdeki yapılan çalışmalar detaylı olarak maddeler halinde tarihsel bir sıralama ile anlatıldı. Üçüncü bölümde Lorentz-Minkowski uzay, Riemann manifoldlar ve yüzeyler ile ilgili temel tanım ve teoremler açık bir şekilde verildi. Dördüncü bölümde 3- boyutlu konformal düz uzaylarda bir yüzeyin asli eğriliklerinin bulunması ile ilgili tüm işlemler açık bir şekilde sunuldu. Ayrıca helikoidsel yüzeylerin varlığını anlamlı hale getiren süreçler anlatıldı. Beşinci bölüm üç kısım halinde anlatıldı. Uzaysı (spacelike) eksen ve zamansı (timelike) eksen olduğu durumda, önceden belirlenmiş dışsal eğriliği ve ortalama eğriliği içeren helikoidsel yüzeylerin iki parametreli bir ailesi elde edildi. Işıksı (lightlike) eksen olduğu durumda, hem sıfır dışsal eğrilikli hemde minimal helikoidsel yüzeylerin özel çözümler ile bulunan açık parametrizasyonları elde edildi. Bu yüzeylerin hem dışsal eğriliğin hem de ortalama eğriliğin sıfır olduğu durumda iki parametreli bir aile elde edilir iken ancak bu eğriliklerden ya dışsal eğriliğin ya da ortalama eğriliğin biri sıfır olduğu durumda tek parametreli bir aile elde edildi. Altıncı bölümde de helikoidsel yüzeylerin bazı özel eğrilik değerlerine karşılık gelen açık parametrizasyonları Mapple programı yardımı ile çizildi. Yedinci bölümde ise yararlandığımız kaynaklara yer verildi.This thesis explores the problem of determining explicit parametrizations for non-degenerate helicoidal surfaces with prescribed curvatures in conformal flat pseudo- spaces. The pseudo- metrics in these spaces have conformal factors linked to three forms of generic cylindrical functions. Explicit parametrizations of helicoidal surfaces corresponding to different causal characteristics of the axis of rotation in conformal flat pseudo space are provided. This study consists of seven sections. The first chapter included a brief history of helicoidal surfaces and conformal flat spaces, as well as the thesis's aim. The second chapter provides a detailed historical account of research on helicoidal surfaces in the literature. The third chapter fully presents the fundamental concepts and theorems about Lorentz- Minkowski space, Riemannian manifolds, and surfaces. The fourth chapter clearly presents all techniques for determining the principal curvatures of a surface in 3- dimensional conformal flat spaces. The processes that provide significance to the presence of helicoidal surfaces are also presented.Chapter five is divided into three sections. A two- parameter family of helicoidal surfaces with prescribed extrinsic curvature and mean curvature is produced for the spacelike and timelike axes. We provide explicit parametrizations for both the helicoidal surfaces with zero extrinsic curvature and the minimum helicoidal surfaces determined via special solutions in the case of the lightlike axis. A two- parameter family is achieved when both the extrinsic curvature and the mean curvature are zero for these surfaces. Homever, a one- parameter family is achieved when either the extrinsic curvature or the mean curvature is zero. The Mapple software is used to generate explicit parametrizations of helicoidal surfaces in the sixth part, matching to certain curvature values. The seventh part contains the references we used. Keywords: Gaussian curvature, Mean curvature, Extrinsic curvature, Conformal factors.