Eğriler, Çatılar ve Paralellikler Üzerine Bir Çalışma

Abstract

Bu çalisma bes bölüm halinde düzenlenmistir.Giris bölümünde bazi temel kavramlara yer verilmistir. Bu bölümde; Ökliduzaylarinda çati, Frenet çatisi ve bunlarla ilgili temel kavramlar, Öklid uzaylarindakikapali egrilerin saglamasi gereken kriterler incelenmis, afin uzayda düzlemsel egrilerinkapali olmasi için bir kriter verilmistir. Bazi teorem v özellikler için ispat yapilirkenebazilari için ise sadece kaynak gösterilmistir.Üçüncü bölümde ise dördüncü bölümde yaygin sekilde kullanilacak olanE.Picard'in iyi bilinen ardisik yaklasimlar metodu hakkinda bilgi verilmistir.Bulgular ve tartisma bölümü , bu çalismanin orjinal kisminin da içinde bulundugubölümdür. Bu bölümde ilk olarak Öklid uzaylarindaki kapali egriler boyunca relatifparalel uyarlanmis çati alanlari için E.Picard'in ardisik yaklasimlar metodu kullanilarakbazi gerek ve yeter kosullar elde edildi. Daha sonra afin uzaylardaki egriler boyuncarelatif paralel uyarlanmis çati alanlari tanimlanarak özellikleri incelendi. Ayrica yineE.Picard'in ardisik yaklasimlar metodundan yararlanilarak böyle bir çatiya sahip biregrinin kapali olmasi için gerek ve yeter sartlar da incelendi.Anahtar Sözcükler: Kapali egri, ardisik yaklasimlar metodu, relatif paraleluyarlanmis çati alanlari, afin uzay.

This thesis consists of five chapters .The first main chapter, the introduction; deals with the basic concepts which areused through the work. In this chapter; frames in The Eucliean space, Frenet framedefined along a curve, some criterias for a curve of a finite dimensional Eucliean spaceto be closed one; have been mentioned; and some basic concepts of differentialgeometry like these, have also been explained. Moreever we also give some criteria fora curve in the afine plane to be closed. While some theorems are being proved, onlythe references have been pointed out for the others.The third main part, the matherials and methods includes the well-known methodof successive approximation due to E.Picard which play an important role in the forthchapter.The original part of this thesis is in the forth chapter, the results and discussion. Inthis chapter; firstly by using E.Picard?s successive approximations method, we getsome necessary and sufficient conditions for a relatively paralel adapted frame alongclosed curve of an Eucliean space. Secondly we have defined a relatively paralleladapted frame along a curve in the unimodular affine geometry. Then it has led to somenew properties about this frame. Some criteria for such a frame have also beenexamined and especially the characterizations subject to E.Picard?s succesiveapproximations method have been researched.Keywords: Closed curves, succesive approximations method, relatively paralleladapted frame fields, affine space.