Homojen ve Heterojen Paralel Kanallı Servis Sistemlerinin Trafik Yoğunluğuna Göre Karşılaştırılması

Abstract

Kuyruk sistemlerindeki çalışmalarda M/M/n ve M/M ⃗/n sistemleri analiz edilmiş ve M/M ⃗/n sistemi için μ_1+μ_2+⋯+μ_n=c koşulu altında sistemin performans ölçülerinin minimize olması ya da bir başka deyişle sistemin daha hızlı çalışması için μ_1=μ_2=⋯=μ_n=c⁄n olması gerektiği incelenmiştir. μ_1+μ_2+⋯+μ_n=c koşulu altında M/M/n kuyruk sisteminin M/M ⃗/n kuyruk sisteminden daha hızlı çalıştığı gösterilmiştir. Bu çalışmada M/M/n ve M/M ⃗/n kuyruk sistemlerine ait trafik yoğunluğunun fazla olması durumu incelenmek istenmiştir. Bu yoğunluk mağazaların indirim günlerinde, spor müsabakalarında ve ya konserlerde ortaya çıkabilir. Trafik yoğunluğunun fazla oldup olmadığına karar vermek için ardışık olasılık oran testi uygulanmıştır. Bu teste göre sistemlerin yoğun çalışması durumunda sistemler tekrar analiz edilerek performans ölçüleri incelenmiştir. Yoğun çalışan, λ ortalama oranı ile Poisson geliş akımına sahip ve herbir servis süresi μ parametresi ile üstel dağılıma uyan M/M/n kuyruk sisteminde müşteri sayısı (k), sistemdeki paralel servis kanalı sayısından (n) büyük veya eşit olarak alınarak incelenmiştir. Sistemde herhangi bir anda servis kanalı sayısından daha az müşteri olması olasılıkları çok küçük olduğundan ihmal edilmiştir. Bu bağlamda kuyruktaki müşteri sayısının geometrik dağılıma, kuyrukta bekleme süresinin nμ-λ parametresi ile üstel dağılıma sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca serviste bekleme süresinin hipo-üstel dağılıma sahip olduğu gösterilmiştir. Bununla beraber trafik yoğunluğu fazla olan, λ ortalama oranı ile Poisson geliş akımına sahip ve servis süreleri sırası ile μ_i,i=1,…,n parametresi ile üstel dağılıma uyan M/M ⃗/n sistemi k≥n olarak incelenmiş ve sisteme ait performans ölçüleri hesaplanmıştır. Trafik yoğunluğunun fazla olduğu M/M ⃗/n kuyruk sistemi incelenmiş ve μ_1+μ_2+⋯+μ_n=c koşulu altında sistemin performans ölçülerinin sabit oldukları görülmüştür. Dolayısı ile trafik yoğunluğu fazla olan homojen ve heterojen paralel kanallı sistemlerinin μ_1+μ_2+⋯+μ_n=c koşulu altında performans ölçülerinin aynı olduğu ve bir birlerine üstünlüklerinin olmadığı gösterilmiştir. Anahtar Kelime: Kuyruk Sistemleri, Durağan Dağılım, Poisson Akımı, Markov Zincirleri, Homojen Kanal, Heterojen Kanal, Ardışık Çözümleme,In the studies of Queueing Theory, M/M/n and M/M ⃗/n systems are analyzed and to minimize the performance measures of M/M ⃗/n system, i.e. for a fast work of the system, it is shown that μ_n=c⁄n under condition μ_1+μ_2+⋯+μ_n=c. It is clearly shown that M/M/n system works faster than M/M ⃗/n under condition μ_1+μ_2+⋯+μ_n=c. In this study, it is aimed to analyze M/M/n and M/M ⃗/n systems when the traffic density of these systems are heavy. This heavy traffic density can occur in discount days of shopping malls, in sport competitions, in concerts etc. To decide wheter the tarffic density is heavy or not successive probability ratio test is applied. Acoording to this test, if a system has a heavy traffic density then the system is analyzed with respect to itsperformance measures. A heavy working M/M/n queueing system, with Poisson arrival λ rates and having μ service time each, such a system is analyzed when k, the customer number in the system, is equal to or gretaer than n, the number of parallel channels in the system. Since the probability of being less customer than service channles is very small, this probability is disregarded. In this manner it is shown that the customer number in the system has normal distribution and waiting time in queue has exponential distribution with nμ-λ parameter. Also it is shown that the waiting time in system is hypo-exponential. In addition a heavy working M/M ⃗/n system with Poisson arrivals in which the service times are μ_i,i=1,…,n respectively, is analyzed and measure performances of this system is calculated considering k≥n. Finally it is decided by analyzing a heavy working M/M ⃗/n that under condition μ_1+μ_2+⋯+μ_n=c, the measure of performances are fixed. This result shows us that the heavy working heteregeneous and homogeneous parallel systems have no advantages or disadvantages on each other under condition μ_1+μ_2+⋯+μ_n=c. Keyword: Queueing systems, Steady-state , Poisson Distribution, Markov Chain, Homogeneous Channel, Heteregeneous Channel,Sequential Solutions