Newtonyen Olmayan Reel Sayılarda Fonksiyon Dizi ve Serileri

Abstract

Dört bölümden oluşan bu tezin amacı Newtonyen olmayan reel sayılarda fonksiyon dizi ve serilerini incelemektir. Bu nedenle çalışmanın birinci bölümünde günümüze kadar yapılan çalışmalar ve uygulama alanları hakkında kısaca bilgi verildi. İkinci bölümünde klasik kalkülüse alternatif olarak ortaya çıkan Newtonyen olmayan kalkülüs tanıtıldı, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan tanımlar, teoremler ve özellikler verildi. Tez konusunu oluşturan bulgular bölümünün birinci kısmında Newtonyen olmayan reel sayılar cismi üzerinde *-fonksiyon dizisi tanıtıldı, bazı tanım ve teoremler verildi. İkinci kısımda *-fonksiyon serisi, *-noktasal yakınsama, *-düzgün yakınsama kavramları tanıtıldı ve *-noktasal yakınsama ile *-düzgün yakınsamanın önemli farklarını ortaya çıkaran teoremler ispatlandı. Ayrıca *-düzgün yakınsaklık için *-Cauchy kriteri, *-Weierstrass M-kriteri gibi *-yakınsaklık testleri elde edildi. Üçüncü, dördüncü ve beşinci kısımda sırasıyla *-düzgün yakınsaklığın *-süreklilik, *-integral ve *-türev ile arasındaki ilişki irdelendi. Altıncı kısımda *-Abel ve *-Dirichlet testleri verildi. Son kısımda *-kuvvet serileri tanıtıldı, bunun bir uygulaması olarak Cesaro ve Abel anlamında toplanabilme ve özellikleri elde edildi. Son bölümde ise sonuç ve önerilere yer verildi. Anahtar Kelimeler: *-fonksiyon dizisi; *-fonksiyon serisi; *-noktasal yakınsama; *-düzgün yakınsama; *-süreklilik; *-kuvvet serisi; Cesaro ve Abel anlamında toplanabilme.The purpose of this thesis consists of four chapters is to examine the function sequences and series in the non-Newtonian real numbers. Therefore, in the first chapter of study, the information about the studies that are done until today and the application areas, was briefly given. In the second chapter, non-Newtonian calculus was introduced which is an alternative to the classical calculus, definitions, theorems and properties were given which will be used at subsequent chapters. In the first section of chapter of main results, *-function sequence was introduced in the non-Newtonian real numbers, some definitions, theorems and properties were given. In the second section, *-function series, *-pointwise convergence and *-uniform convergence were introduced and theorems were proven which are exposed important differences between *-pointwise convergence and *-uniform convergence. In addition, *-convergence tests such as *-Cauchy criterion and *-Weierstrass M-criterion were obtained. In the third, fourth and fifth sections, the relationship between *-uniform convergence of the *-continuty, *-integral and *-deriative was examined respectively. In the sixth section, tests of *-Abel and *-Dirichlet were given. In the last section, *-power series were introduced, β-summability and its properties were obtained in the sense of Cesaro and Abel being an application of this. In the last chapter, results and suggestions were given. Key Words: *-Function Sequences; *-Function Series; *-Pointwise Convergence; *-Uniform Convergence; *-Continuty; *-Power Series; β-Summability In The Cesaro and Abel Sense.