Jacobsthal ve Jacobsthal-lucas Sayılarına Newtonyen Olmayan Bir Yaklaşım

Abstract

Bu tezde, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarının matematiksel özellikleri, bu sayıların non-Newtonian kalkülüs bağlamında analizi ve bu analizlerin sonuçları ele alınmıştır. Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas dizileri, sayı teorisinde önemli bir yere sahip olup, kombinatorik ve uygulamalı matematikte çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Bu çalışmada, bu dizilerin klasik kalkülüs yöntemlerinin ötesinde, non-Newtonian kalkülüs çerçevesinde incelenmesi ve bu analizler sonucunda yeni matematiksel bağlamlar geliştirilmesi amaçlanmıştır. Non-Newtonian kalkülüsün sağladığı esneklik ve yenilikçi yaklaşım, bu dizilerin daha geniş bir matematiksel yapı içinde ele alınmasını sağlamaktadır. Çalışma, dört ana bölüm içermektedir. İlk bölümde, tezin genel amacı, kapsamı ve motivasyonu açıklanmış, kullanılan matematiksel kavramlar ve teoriler detaylandırılmıştır. Bu bölüm, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayı dizilerinin literatürdeki yerini vurgularken, çalışmanın dayandığı temel teorik altyapıyı tanıtmaktadır. İkinci bölümde, non-Newtonian kalkülüsün temel prensipleri ve aritmetik sistemleri ele alınmış, bu sistemin sağladığı matematiksel esneklik açıklanmıştır. Ayrıca, bu bölümde Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas dizilerinin klasik yöntemlerle elde edilen temel özellikleri, toplam formülleri ve matematiksel ilişkileri tartışılmıştır. Üçüncü bölüm, non-Newtonian Jacobsthal ve non-Newtonian Jacobsthal-Lucas sayılarının analizine odaklanmaktadır. Bu sayıların matematiksel özellikleri, toplam formülleri ve aralarındaki ilişkiler ayrıntılı bir şekilde ortaya konulmuştur. Non-Newtonian kalkülüs, bu sayı dizilerinin analitik yapısını derinleştirerek ve özelliklerini yeniden tanımlayarak literatürdeki mevcut yaklaşımları genişletmektedir. Çalışma, ayrıca bu dizilerin kriptografi, kodlama teorisi, kombinatorik ve veri analitiği gibi disiplinler için sunduğu yenilikçi uygulamalara da ışık tutmaktadır. Son olarak, dördüncü bölümde elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve bu alanda gelecekte yapılabilecek çalışmalar için öneriler sunulmuştur. Çalışma, hem Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas dizilerinin analizi hem de non-Newtonian kalkülüsün matematiksel yapılara uygulanabilirliğine yönelik önemli bir katkı sağlamaktadır. Bu bağlamda, elde edilen bulgular, matematiksel teori ve uygulamalı analizde yenilikçi bir çerçeve sunmaktadır.This thesis examines the mathematical features of Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas numbers, analyzes these numbers in the context of non-Newtonian calculus, and presents the results of this analysis. Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas sequences hold a significant place in number theory and are used in various areas of combinatorics and applied mathematics. This study aims to explore these sequences beyond the classical calculus methods by applying the framework of non-Newtonian calculus, thereby introducing new mathematical perspectives. The flexibility and innovative approach offered by non-Newtonian calculus enable these sequences to be analyzed within a broader mathematical structure. The thesis includes four main sections. The first chapter outlines the general purpose, scope, and motivation of the thesis, providing details on the mathematical concepts and theories utilized. This section emphasizes the importance of Jacobsthal-Lucas and Jacobsthal sequences in the literature and introduces the theoretical foundation of the study. The second chapter discusses the fundamental principles and arithmetic systems of non-Newtonian calculus, highlighting its mathematical flexibility. Additionally, it examines the classical properties of Jacobsthal-Lucas and Jacobsthal sequences, their summation formulas, and mathematical relationships. The third chapter focuses on analyzing non-Newtonian Jacobsthal and non-Newtonian Jacobsthal-Lucas numbers. It investigates their mathematical properties, summation formulas, and interrelationships in detail. Non-Newtonian calculus deepens the analytical structure of these number sequences, redefines their characteristics, and expands upon existing approaches in the literature. The study also highlights the innovative applications of these sequences in disciplines such as cryptography, coding theory, combinatorics and data analytics. Finally, the fourth chapter summarizes the findings and provides suggestions for future research. The study contributes significantly to the analysis of Jacobsthal-Lucas and Jacobsthal sequences and the applicability of non-Newtonian calculus to mathematical structures. In this context, the findings offer an innovative framework for both mathematical theory and applied analysis.