Bulanık En Küçük Kareler Yöntemiyle Dizge Birim Vuruş Tepkesinin Bulunması

Abstract

IV BULANIK EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİYLE DİZGE BİRİM VURUŞ TEPKESİNİN BULUNMASI ÖZET İlk koşulların sıfır alındığı doğrusal ve zamanla değişmeyen bir dizgede, çıkış büyüklüğünün Laplace dönüşüğünün, giriş büyüklüğünün Laplace dönüşüğüne oranı, geçiş işlevini vermektedir. Bu çalışmada, böyle bir dizgenin girişine birim vuruş işareti uygulanmaktadır. Çıkış işareti, dizge birim vuruş tepkesine (zaman bölgesinde geçiş işlevi ifadesine) eşit olmaktadır. Kullanılan ölçüm aletlerinin yeterli olmayan duyarlılığı, elektriksel gürültü, insandan kaynaklanan gözlemsel hatalar nedeniyle birden fazla gözlem için, zaman ve birim vuruş tepke verilerinin yakın ama, aynı olmayan değerlerden oluştuğu gözlenmektedir. Bu veriler, bulanık mantık yoluyla bulanık sayılarla ifade edilebilmektedir. Yeterli miktarda gözlemle; gözlenen değerlerden, zaman ve birim vuruş tepkesine ilişkin bulanık gözlem verileri elde edilebilmektedir. Bu tez çalışmasının amacı; ilk koşulların sıfır alındığı doğrusal zamanla değişmeyen, ayrık veya karmaşık eşlenik köklere sahip bir dizgede gözlenen bulanık verileri kullanarak, dizge birim vuruş tepkesini ve Laplace dönüşümü uygulayarak H(s) geçiş işlevini elde etmektir. Bulanık en küçük kareler yöntemi, klasik en küçük kareler yöntemi ve bulanık mantık kavramları (bulanık sayı, aralık işlemleri, DSW algoritması) kullanılarak ortaya konmaktadır. Yönteme giriş amacıyla; birinci, ikinci ve n inci dereceden polinom tipli ve sinüzoidal terim içeren ifadelere bulanık en küçük kareler yöntemi uygulanmaktadır. Elde edilen denklem sisteminde, bulanık sayılar yerleştirilerek.bu ifadelerdeki parametrelerin değerleri bulunmaktadır. Belirtilen tez amacı; ayrık köklere sahip birinci derece birim vuruş tepkesi için bulanık en küçük kareler yöntemi uygulayarak gerçekleştirilmektedir. İkinci derece birim vuruş tepkesini bulmak için; bulanık aralık işlemleri, bulanıklıktan kurtarma yöntemlerinden birisi olan 'ağırlık merkezi yöntemi' ve 'Gauss-Newton yöntemi' kullanılmaktadır. Ayrık köklere sahip üç ve daha büyük derecedenbirim vuruş tepke ifadeleri ve karmaşık eşlenik köklere sahip birim vuruş tepke ifadeleri için, 'en büyük üyelik derecesi yöntemi' olarak adlandırılan bulanıklıktan kurtarma yöntemi ve 'Gauss-Newton yöntemi' uygulanmaktadır. Anahtar Kelimeler: Bulanık Mantık, Bulanık En Küçük Kareler Yöntemi, Birim Vuruş Tepkesi, Geçiş işlevi

VI DETERMINATION OF SYSTEM UNIT IMPULSE RESPONSE USING THE FUZZY LEAST SQUARES METHOD ABSTRACT In a linear time invariant system where the initial conditions are taken as zero, the ratio between Laplace transforms of the output and input variables defines the system function. The output signal is called as the unit impulse response in the case of an unit impulse input signal. In this situation, the system transfer function which is the Laplace transformed of the output can be obtained. Due to the insufficient accuracy of the measurement devices, electrical noise and the human factors; the measured values of the time instances and the unit impulse response data are found to be so close to each other though not equal. Those data can be treated as fuzzy numbers based on fuzzy logic theory. The fuzzy measured data of time and the unit impulse response can be obtained from the observed values with enough measurements. By using the fuzzy measured data, the system unit impulse response can be obtained. The system function H(s) can be easily determined as the Laplace transform of the system unit impulse response. The fuzzy least squares method is presented by using the traditional 'least squares method' and the fuzzy logic tools (fuzzy numbers, operation of intervals, DSW algorithm etc.). As a brief introduction, the method is applied to the expressions involving first order, second order and generalized n.th order polynomial and sinusoidal terms. The values of parameters in the expressions are obtained by putting the fuzzy numbers in the equation system. For the first order unit impulse response, the objective of thesis is realized by fuzzy least squares method. The 'Centroid method' which is a defuzzification method and the 'Gauss-Newton method' are used to obtain the second order unit impulse response. For the highest order systems, the methodVII of 'maximum membership principle' which is also a defuzzification method and the Gauss-Newton method are used. Key Words: Fuzzy Logic, Fuzzy Least Squares Method, Unit Impulse Response, Transfer Function