Lineer Olmayan Fark Denklemlerinin Ters Operatör Yardımıyla Çözümü

Abstract

∆ ileri fark olmak üzere verilen ∆f(x)=g(x) ifadesinden f(x)=∆^(-1) g(x) şeklinde f(x) fonksiyonu belirlenebilir. Aynı şekilde y(x) bilinmeyen bir fonksiyon olmak üzere ∆y(x)=p(x) denklemi için de y(x) bilinmeyen fonksiyonu y(x)=∆^(-1) p(x) şeklinde belirlenebilir. Bu çalışmada ∆^(-1) operatöründen faydalanarak bazı lineer veya lineer olmayan fark denklemlerinin genel çözümlerinin nasıl olduğu teorem olarak ifade edilmiş ve örneklerle açıklanmıştır. Bu çalışma yardımıyla daha birçok lineer veya lineer olmayan denklemler için de genel çözümler elde edilebilir. Tezin birinci bölümünde, fark denklemleri hakkında geçmişten bugüne kadar bilim insanlarının ne kadar ilerlediğinden bahsedilmiştir. İkinci bölümde, Ayrık noktalar kümesi ve parçalanış fonksiyonlara yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde fark denklemlerinin çözümünde yardımcı olan operatörler ve özellikleri, fark denklemlerinin çözümü ve sınıflandırılması üzerinde durulmuştur. Bu operatörlerin nasıl çalıştığı örneklerle açıklanmıştır. Tezin üçüncü bölümünde, fark denklemlerinin sınıflandırılması, temel kavramlar, tanım, mertebe, n. mertebeden fark denklemi, genel ve özel çözüm, lineerlik çözümleri üzerinde durulmuştur. Dördüncü bölümde, ters fark operatörü yardımıyla bazı lineer(homojen ve homojen olmayan) ve lineer olmayan denklemlerin genel çözümleri için teoremlerle ispatlanmıştır ve örneklerle açıklanmıştır. Tezin son bölümünde diğer sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

From the expression ∆f(x)=g(x) where ∆ is the forward difference, the f(x) function can be determined as f(x)=∆^(-1) g(x) Likewise, fort he equaiton ∆y(x)=p(x), where y(x) is an unknown function, the unknown function y(x) can be determined as y(x)=∆^(-1) p(x). In this study, using the ∆^(-1) operator, the general solutions of some linear or non-linear difference equations are expressed as theorems and explained with examples. With the help of this study, general solutions can be obtained for many more linear or non-linear difference equations. In the first part of the thesis, it is stated how far sicentists have progressed from the past to the present about the difference equations. The second part includes the discrete points set and fragmentation functions. In iddition, operators that help in solving difference equations and their features, solution and classification of difference equations are emphasized. It is explained how these operators work with examples. In the third part of the thesis, the classification of difference equations, basic concepts, the definition, the order, the difference equations from the n. order, general and specific solution, linearity solutions are emphasized. In the fourth part, some difference equations is proven by theorems that are linear (homogeneous and non-homogeneous) and non-lineer with the help of the inverse difference operator and explained with examples. And finally, other conclusions and recommendations are mentioned in the lost part of the thesis.