Green Fonksiyonuna Dayalı Bir Sabit Nokta Yaklaşımının Uygulamaları

Abstract

Viskoelastik akışların ve diğer matematiksel, fiziksel ve mühendislik bilim dallarının matematiksel modellemesinde ortaya çıkan beşinci mertebeden sınır değer problemleri günümüzde yaygın olarak çalışılmaktadır. Özellikle, birçok mühendislik ve fiziksel sistemler lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemler ile ifade edilmektedir. Bu tür problemlerin çözümü için sonlu farklar yöntemi, diferansiyel dönüşüm yöntemi, Picard ardışık yaklaşımlar yöntemi, Picard-Green ardışık yaklaşımlar yöntemi vb. sayısal çözüm teknikleri kullanılmaktadır. Lineer ve lineer olmayan denklem sistemlerinin istenilen sınır koşulları altında çözülmesi için yaygın olarak Green fonksiyonundan yararlanılmaktadır. Yüksek mertebeden diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerini yapmak için Green fonksiyonu Picard ardışık yaklaşımlar yöntemi ile bir araya getirilerek Picard-Green ardışık yaklaşımlar yöntemi kullanılmaktadır. Bu çalışmada, genellikle viskoelastik akışkanların matematiksel modellemesinde karşılaşılan bir tür beşinci mertebeden lineer ve lineer olmayan sınır değer problemlerinin Green fonksiyonu elde edilerek, söz konusu problemlerin bu fonksiyon yardımıyla çözümleri yapıldı. Green fonksiyonları elde edilen problemlerin Picard-Green ardışık yaklaşımlar yöntemi kullanılarak yaklaşık çözümleri yapıldı. Bu yöntem kullanılarak belirlenen sınır koşulları ile beşinci mertebeden sınır değer problemleri için hızlı ve doğru bir sayısal analiz yöntemi ortaya konularak lineer olmayan örnekler üzerinde uygulandı. Ayrıca çözümlerin hata aralıkları belirlenerek farklı yöntemlerle yapılan çalışmaların sonuçları ile karşılaştırılması gerçekleştirildi. Picard-Green ardışık yaklaşımlar yönteminin etkinliğini ve uygulanmasını göstermek için dört örnek problem ele alındı.

Fifth order boundary value problems arising in mathematical modeling of viscoelastic flows and other mathematical, physical and engineering disciplines are widely studied by scientists today. In particular, many engineering and physical systems are represented by linear and nonlinear differential equations. For the solution of such problems, finite difference method, differential transformation method, Picard sequential approximation method, Picard-Green sequential approximation method, etc. numerical solution techniques are used. The Green function is widely used to solve linear and nonlinear equation systems under the desired boundary conditions. To obtain numerical solutions of higher order differential equations, the Green function is combined with the Picard sequential approximation method and the Picard-Green sequential approximation method is used. In this study, the Green function of a kind of fifth order linear and nonlinear boundary value problems, generally encountered in mathematical modeling of viscoelastic fluids, is solved with the help of this function. The approximate solutions of the problems obtained from Green functions were performed by using Picard-Green sequential approach method. This fast and accurate numerical analysis method was used for the boundary conditions and fifth order boundary value problems determined using this method and applied on nonlinear samples. In addition, the error intervals of the solutions were determined and compared with the results of different methods. Picard-Green consecutive approaches were used to illustrate the effectiveness and application of the method and four sample problems were discussed.