Eliptik Türden Kısmi Türevli Diferensiyel Denklemlerin Sonlu Fark Metodu İle Çözümleri ve Yakınsaklık Analizi

Abstract

Bu çalışmada dikdörtgensel bölgede kararlı ısı akış denklemi olan Laplacedenklemi göz önüne alınmıştır. Denklemdeki türev operatörleri sonlu-fark operatörleriile temsil edilip ayrıştırılmış, daha sonra çeşitli uygun iterasyon metotlarıyla sayısalçözümlemesi yapılmıştır. Buradan elde edilen sonuçlar grafiklerle ifade edilmiş veanalitik çözümle karşılaştırılmıştır. Daha sonra, iterasyon matrisinin en büyüközdeğerinin reel olması şartıyla çözüm için yakınsaklığı hızlandıran Lyusternik veAitken metotları kullanılmıştır. Böylece iterasyon metotlarından sonra yakınsaklığıhızlandıran metotlar problemin sayısal çözümüne uygulanarak sayısal sonuç yenidenelde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar da; grafiklerle gösterilmiş ve iterasyonmetotlarından elde edilen ilk sonuçlarla hem tablo hem de grafiksel olarakkarşılaştırılması sunulmuştur.Anahtar Kelimeler: Eliptik Denklem, Sonlu-Fark Metodu, İterasyon MetotlarıIn this study, we consider Laplace?s equation which determines the steady flowof heat in rectangular domain. After discretising differential operators represented byfinite difference operators then several suitable iterative methods have been used fornumerical solutions. The solutions obtained by iterative methods were showngraphically and compared with analytical solutions. After that, Lyusternik?s andAitken?s methods were used for accelerating convergence of solutions since thesemethods are applicable to any iterative process when the eigenvalue of the largestmodulus for iteration matrix is real. Therefore, numerical solutions were again obtainedby using the methods of accelerating convergence for numerical solution. Thesesolutions were also shown graphically and compared with the first solution of iterativemethods.Key Words: Elliptic Equation, Finite-Difference Method, Iterative Methods