Bikompleks Sayıların Bazı Topolojik Özellikleri

Abstract

Bu tez çalışmasının amacı, bikompleks sayılarda reel değerli öklid normu ve hiperbolik değerli k normunu kullanarak metrik uzay örnekleri, tam metrik uzay örnekleri ve bikompleks sayıların bazı topolojik özelliklerini incelemektir. Bu amaç doğrultusunda, tez dört ana bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümde, kompleks sayılar teorisinin bir uzantısı olarak 19. yüzyılda ortaya çıkan ve zamanla çeşitli matematiksel ve fiziksel problemlerin çözümünde önemli bir araç haline gelen bikompleks sayıların tarihsel gelişimine ve bu alanda yapılan güncel bilimsel çalışmalara geniş bir şekilde değinilmiştir. Ayrıca, tez konusunun önemi ve bu alandaki araştırmalardan bahsedilmiştir. Tezin ikinci bölümünde, bikompleks sayılar hakkında kapsamlı bir bilgilendirme yapılmış ve bu sayıların temel özellikleri, çalışmanın sonraki bölümlerinde kullanılacak olan bazı tanımlar, teoremler ve eşitsizlikler verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde, bikompleks sayılar ve bunların reel değerli öklid normu ve hiperbolik değerli k normu kullanılarak bazı metrik uzay örnekleri tanımlanmış ve ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Bikompleks sayılar üzerinde tanımlanan metrik uzayların özelliklerine özellikle vurgu yapıldı. Bu bölümdeki bilgilerde bikompleks sayılara ilişkin normlar kullanılarak yeni metriklerin nasıl oluşturulabileceği ve bu uzayların hangi matematiksel özelliklere sahip olduğu incelenmektedir. Tezin dördüncü bölümünde, bikompleks sayılar kümesini kullanarak 'disk' olarak adlandırılan özel bir kartezyen küme tanımlanmış ve bu kümenin bazı özellikleri ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Bu bölümde, açık yuvar, kapalı yuvar, açık disk ve kapalı disk gibi temel topolojik kavramlar tanımlanmış, ayrıca bikompleks sayılar ve bu sayıların hiperbolik değerli k normunu kullanarak metrik uzaylar tanımlanmış ve bu metrik uzayların hiperbolik değerli normlara göre tamlık özelliğini sağladığı ispatlanmıştır. Sonuç olarak, bu tez, bikompleks sayıların normları kullanılarak metrik uzayların ve bu uzayların topolojik özelliklerinin anlaşılmasına yönelik önemli katkı sağlamaktadır. Bu çalışmalar, matematiksel analiz ve topoloji kavramlarının bikompleks sayılar bağlamında nasıl uygulanabileceğini göstermekte ve bu alandaki literatüre bir katkı sunmaktadır.The aim of this thesis is to give metric space examples, complete metric space examples by using real-valued Euclidean norm and hyperbolic-valued k-norm in bicomplex numbers and to examine some topological properties of bicomplex numbers. For this purpose, the thesis consists of four main chapters. In the first chapter of the thesis, the historical development of bicomplex numbers, which emerged in the 19th century as an extension of complex number theory and became an important tool in solving various mathematical and physical problems over time, and current scientific studies in this field are extensively discussed. Additionally, the importance of the thesis topic and studies in this field are mentioned. In the second chapter, the fundamental definitions and terminology that will be used in the subsequent chapters of the study are introduced. This chapter provides a comprehensive briefing on the properties of bicomplex numbers and metric spaces. In the third chapter of the thesis, some metric space examples are defined and explained in detail using bicomplex numbers and their real valued Euclidean norm and hyperbolic valued k-norm. Particular emphasis was placed on the properties of metric spaces defined on bicomplex numbers. The knowledges in this section examines how new metrics can be created using norms regarding bicomplex numbers and which mathematical properties these spaces have. In the fourth chapter, the properties of specific Cartesian sets, termed as 'disks,' formed using the bicomplex number set are examined in detail. This chapter thoroughly investigates the topological properties of closed and open disks. Furthermore, it is proven that bicomplex numbers and spaces defined by these numbers form metric spaces with significant features when using the hyperbolic norm with k values. As a result, this thesis makes a significant contribution to the understanding of metric spaces and the topological properties of these spaces by using the norms of bicomplex numbers. These studies show how mathematical analysis and topology concepts can be applied in the context of bicomplex numbers and make a contribution to the literature in this field.