Mınkowski Uzayında Eğrilerin Elde Edilmesi

Abstract

Bu tezde 3-boyutlu Lorentz-Minkowski uzayındaki Frenet ve Bishop çatılarının türev formüllerinin integrallenebilir olduğu yeni bir metot tanıtıldı. Bu metot sayesinde bazı özel eğrilerin pozisyon vektör alanlarının doğal gösteriminin belirlenmesi problemi araştırıldı. Bu çalışma yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde eğrilerin kısa bir tarihçesi, uygulama alanı ve tezin amacından bahsedildi. İkinci bölümde pozisyon vektörü ile ilgili yapılan çalışmalar anlatıldı. Üçüncü bölümde afin uzay, Öklid uzay ve Minkowski uzay ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verildi. Dördüncü bölümde Öklid ve Minkowski uzaylarındaki eğrilerin yerel kuramının temel teoremleri ifade edildi. Beşinci bölümün birinci kısımında eksenler etrafındaki dönme hareketleri sayesinde yeni bir koordinat sistemi ve bununla ilişkili yeni baz vektörleri tanıtıldı. İlk olarak, bu baz vektörleri Frenet çatısının türev formüllerine uygulanıp bu türev formüllerinin dolaylı çözümlerinin sadece bir bileşenini ifade eden teoremler elde edildi. İkinci olarak, Bishop çatısınının türev formüllerine göre benzer teoremler bulundu. Bu bölümün ikinci kısımında dolaylı çözümlerin hangi koşul altında tutarlı çözüm belirteceğine dair araştırmalar yapıldı. Bu koşul incelendiğinde Frenet çatısı için elde edilen tutarlı çözümlerin Lagranjlı dinamiklerin extremumları olan LW eğrilerin ilk üç üye eğrisine ve slant helislere, Bishop çatısı için elde edilen tutarlı çözümlerin Bishop slant helislere karşılık geldiği görüldü. Altıncı bölümde elde edilen eğrilerin pozisyon vektörü özel eğrilik fonksiyonları için Mathematica Programı yardımıyla çizildi. Son bölümde ise bu çalışmada elde edilen bulgular tartışıldı ve bir sonraki çalışmalar için okuyuculara açık problemler verildi.In this thesis, a new method in which the derivative formulas of the Frenet and Bishop frames in the Lorentz-Minkowski 3-space can be easily integrate is introduced. By this method, the problem of determining a natural representation of the position vector field for some special curves is investigated. This work consists of seven sections. In the first section, short history of curves, scope of application and objective of the thesis are mentioned. In the second section, the surveys on the position vector are given. Third section dedicate to basic definitions and theorems concerning affine space, Euclidean space and Minkowski space. In the fourth section, the fundamental theorems of the local theory of curves in the Euclidean and Minkowki spaces are expressed. In the first chapter of the fifth section, a new coordinate system and new bases vectors related to it are introduced from a viewpoint of rotations around axes. Firstly, theorems that present only one component of the indirect solution of the derivative formulas of the Frenet frame are obtained by applying these basis vectors to the derivative formulas. Secondly, the analogue theorems are found according to the derivative formulas of the Bishop frame. In the second chapter of this section, a necessary condition for the indirect solution to be a steady solution is analyzed. Examining this condition, it was seen that the existing steady solutions according to the Frenet frame correspond to the first three member curves of the LW curves, which are the extremal of Lagranjian dynamics, and slant helices. Similarly, the existing steady solutions according to the Bishop frame correspond to Bishop slant helices. In the sixth section, the position vector of the obtained curves is plotted for special curvature functions with Mathematica Programs. In the last section, results of this study are discussed, and the further studies is presented to readers' knowledge.