Bir HIV AIDS Modelinin Kararlılık Analizi ve Sayısal Çözümü

Abstract

Bu çalışmada tedavili ve dikey iletimli, gecikmeli bir HIV/AIDS salgın modeli incelenmiştir. Tüm bireylerin hassas sınıf içine doğduğu, zaman gecikmesi içeren bu modelde orta yaş yetişkin erkekler bulaştırıcı bireyler ile cinsel temas yoluyla HIV/AIDS'li olurlar. Bu modelde cinsel olgun nüfus dört alt sınıfa ayrılmıştır: hassaslar, belirtisiz bulaştırıcılar, belirtili bulaştırıcılar ve tam AIDS grubu. Bu çalışmada bazı bulaştırıcı bireylerin belirtili evreden belirtisiz evreye geçişine bağlı olarak bulaştırıcı bireylerin yeni nesli virüslü olabilir. Hassasların bulaştırıcılar ile cinsel temas yoluyla HIV'li olduğu kabul edilir. Ayrıca, virüslü olan yetişkin erkeklerin bir kısmının, tedaviyi sürdürenlerin, belirtisiz bulaştırıcı sınıfa katıldığı; diğerlerinin, tedaviyi sürdürmeyenlerin, AIDS sınıfına katıldığı kabul edilir. Bu çalışmanın amacı sistem dengesinin kararlılığını sağlayan koşullar altında diferansiyel denklem sisteminin kararlılık özelliklerini ve sayısal çözümünü incelemektir. Diferansiyel denklem sisteminin kararlılık analizi yapılmıştır. Matematiksel analiz bu model için HIV/AIDS'in yayılmasının küresel dinamiklerinin tamamen temel çoğalma sayısı tarafından belirlendiğini göstermiştir. Ayrıca diferansiyel denklemin bu kararlılık analizi sonuçları, iyi bilinen dördüncü mertebeden Runge-Kutta metodu ile elde edilen sayısal çözümler tarafından desteklenmiştir.

In this thesis, we consider a delayed HIV/AIDS epidemic model with treatment and vertical transmission. This model which incorporates time delay during which all individuals born into the susceptible class, middle-age adult male through sexual intercourse with individuals become infected with HIV/AIDS. The model allows the sexually mature population is divided into four subclasses: the susceptible, the asymptomatic infective, the symptomatic infective and full-blown AIDS group. The thesis based on some infected individuals to move from the symptomatic phase to the asymptomatic phase; next generation of infected individuals may be infected. It is assumed that the susceptible become HIV infected via sexual contacts with infectives. Also it is assumed that a fraction of infected middle-aged adult males, who sustain treatment, joins the asymptomatic infective class while others, who do not sustain treatment, joins AIDS class. The aim of the thesis is to examine for both the stability properties and the numerical solution of the differential equations system by providing conditions under which the equilibria of this system is stable. The stability analysis of the differential equations system is given. Mathematical analysis shows that the global dynamics of the spread of the HIV/AIDS are completely determined by the basic reproduction number for this model. Also the results of this stability analysis of differential equations system are supported by numerical solutions obtained from the well known fourth order Runge-Kutta method.