Multiplication Operators on Grand Lorentz Spaces

Abstract

Let( X, , )be a -finite measure space,fbe a complex-valuedmeasurable function defined onXandu X: be a measurable function suchthatu f M ( X,)wheneverf M ( X,)whereM ( X,)is the set of allmeasurable functions defined onX. This gives rise to a linear transformation: ( , , ) ( ) M M MuX X defined by( ) u M f fu, where the product offunctions is pointwise. In case ifM ( X,)is a topological vector space andMuisa continuous (bounded) operator, then it is called a multiplication operator inducedbyu . In this paper, multiplication operators on grand Lorentz spaces are definedand the fundamental properties such as boundedness, closed range, invertibility,compactness and closedness of these are characterized.

( X, , ) -sonlu bir ölçüm uzayı,M ( X,), Xüzerinde tanımlı tümölçülebilir fonksiyonlar veu X: ölçülebilir bir fonksiyon olsun.Xüzerindetanımlı kompleks değerli ölçülebilir herhangi birffonksiyonu içinu f M ( X,)olduğundanufonksiyonuM ( X,)üzerinde( ) u M f f u ,M M M u: ( X X , , ) ( )şeklinde bir lineer operator tanımlar. EğerM ( X,)birtopolojik vektör uzayı veMuoperatörüde sürekli(sınırlı) bir operatör iseMu’yautarafından indirgenen bir çarpım operatörü denir. Bu çalışmada büyük Lorentzuzaylarında çarpım operatörleri tanımlandı ve sınırlılık, kapalı görüntü,terslenebilirlik, kompaktlık ve kapalılık gibi temel özellikleri karakterize edildi.