MAT 101 Analiz I: Lisans Ders Notu

Abstract

Önsöz Bu ders notu, Ondokuz Mayıs Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümünde 2022-2023 güz döneminde verdiğim Analiz I ders notlarının LaTeX formatı kullanılarak elektronik ortamda yazılmış halidir. Bu ders notu hazırlanırken Analiz I dersinin konularını içeren önemli miktarda yerli ve yabancı kaynağa başvurduğumu belirtmek isterim. Bu kaynakların listesi, son bölümde yer almaktadır. Analiz I dersi, matematik bölüm dersleri arasında en temel derslerden biridir. Öğrencilerin lise eğitiminden belirli bir birikime sahip olduklarını varsayarak, temel bilgileri neden-sonuç bağlamında yeniden inceleyen bu ders notuna temel grafiklerin dahil edilmesi çok önemlidir. Bu grafiklerin çiziminde, erişime açık bir çizim programı olan GeoGebra programından yararlandığımı belirtmek isterim. Ayrıca daha özel durumları içeren şekil ve grafikler için Microsoft Office Word programında elle çizimler yapılmıştır. Bu ders notunda verilen önerme ve teoremler detaylı bir şekilde ispat edilmiş, az sayıda teorem ise sadece ifade edilerek ispat edilmemiştir. İspatsız verilen önerme ve teoremlerin hemen hepsi önceki ispat metotlarına benzer şekilde yapılabilmektedir. Bu ders notu altı bölümden oluşmaktadır. Öğrencinin birinci ve üçüncü bölümlerde sunulan kümelerin, bağıntı ve fonksiyonların ilkelerine ilişkin ön bilgisi ne olursa olsun, neden-sonuç bağlantısı kuracak şekilde yeniden açıklanmasıyla bu konuların anlaşılması geliştirilebilir. İkinci bölümde anlatılan reel sayıların aksiyomları ve sınırlılık özellikleri daha sonraki konulara temel oluşturması açısından önemlidir. Dördüncü ve sonraki bölümlerin bu dersin temel konularını içermesi nedeniyle, daha kapsamlı ve derinlemesine bir anlatıma, bol miktarda açıklayıcı ve ters örneklere yer verilmiştir. Birinci bölümde, niceleyicilere ve bağlaçlara kısa bir girişin ardından, teoremlerin ve önermelerin sunumundan kaçınarak, tanımlar ve özelliklere vurgu yapılarak Ondokuz Mayıs Üniversitesi 8 küme teorisi incelmiştir. Aynı dönemde aynı sınıfın Soyut Matematik I dersinde bu konunun detaylı olarak işlenmesi nedeniyle kümeler kuramı bu şekilde ele alınmıştır. İkinci bölümde, reel sayıların toplama, çarpma ve sıralama aksiyomları ifade edildikten sonra reel sayılarda sınırlılık ile ilgili tanım, teorem ve sonuçlar örneklerle ele alınmıştır. Peano aksiyomları, Arşimet presibi ve sonuçları detaylı olarak incelenmiştir. Üçüncü bölümde, bağıntı konusundan kısaca bahsedilip, kümeler kuramından sonra Analiz I dersinin en temel yapı taşı olan fonksiyonlar konusu; trigonometrik, üstel ve logaritmik, hiperbolik fonksiyonların tanımları ve özellikleri grafiklerle desteklenerek ifade edilmiştir. Dördüncü bölümde, reel dizilerin tanımı, yakınsaklığı, sınırlılığı ile yakınsaklık-sınırlılık ilişkisi ifade edilmiştir. Cauchy dizisi tanımı ile bu tanımın yakınsaklık ve sınırlılık ilişkisi verilmiştir. Alt dizi, monoton dizi kavramları ele alınmış, örneklerden ve ters örneklerden yararlanılarak konu pekiştirilmiştir. Dizilerle ilgili önemli teoremler ispatlarıyla sunulmuştur. Beşinci bölümde, fonksiyonlarda limit, sağ ve sol limitler kavramları ifade edilerek bu limitler arasındaki ilişkiler verilmiştir. Limit teoremleri detaylıca ispatlanmış ve sonsuz limit ile sonsuzda limit kavramları tanıtılmıştır. Son olarak limitlerde belirsiz formlar sunulmuştur. Son bölümde ise süreklilik ve süreksizlik tanımları verilmiştir. Süreklilik ile ilgili temel teoremler geometrik ve cebirsel yorumları yapılarak detaylıca ispatlanmıştır. Bu teoremlerin koşullarının esnetilemeyeceği ayrıca örneklenmiştir. Ayrıca düzgün süreklilik ve Lipschitz koşulu tanıtılmıştır. Bir bölümdeki derslerin ders notlarının, o dersi veren tüm akademik personelin ortak kültürüyle oluşturulduğu kanaatindeyim. Bu nedenle Ondokuz Mayıs Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümünde Analiz I dersine bilimsel katkıda bulunan her bir akademisyene saygılarımı ve teşekkürlerimi sunarım.