Bir diferensiyel-operatör denklem için sınır değer problemi / Hüseyin Demir; Danışman Oktay Muhtarov

Abstract

Bu çalışmada sınır şartlarında özdeğer parametresi bulunduran bir daferansiyel operatör sınır değer probleminin spektral özellikleri incelenmiştir. Beş bölüm halinde düzenlenen bu çalışmanın "Giriş "bölümünde araştırılan konunun güncelliği ele alınma nedeni uygulama alanları teorik ve pratik önemi hakkında kısa bilgi verilmiştir. "Literatür özeti" bölümünde özdeğer parametresi içeren lineer diferensiyel denklemler için sınır değer problemlerinin genel tarihine ve tez konumuz ile direkt ilgili olan çalışmalarda elde edilmiş sonuçalrın kısa bir özetine değinilmiştir. "Genel Bilgiler" bölümünde tez konumuzla iilgili olan ve daha sonraki "Bulgular ve tartışma"bölmünde yararlandığımız genel bilgilere ve tanımlara yer verilmiştir. "Bulgular ve Tartışma" bölümü birkaç alt bölüme ayrılmıştır. Bu bölümün ilk kesiminde bir salt (pure) diferensiyel sınır değer probleminin spektral özellikleri bilinen yöntemlerle incelenmiştir. Bu bölümün esas orjinal kısmı sonraki alt bölümleridir. İkinci alt bölümde verilen sınır değer problemine uygun olan Ho ve H2 ile gösterilen özel uzaylar kurulmuş; Bu uzayların Hilbert uzayları olduğu gösterilerek araştırılan sınır değer probleminin bu uzaylar arasında izomorfizm olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca rezolvent operatörünün sonraki araştırmalar için gerekli olan özellikleri bulunmuştur. Üçüncü ve dördüncü alt bölümlerde denkleminde farklı özelliklere sahip olan soyut (abstract) lineer operatörler bulunduran sınır değer problemlerin özdeğerleri için asimptotik formüller bulunmuştur. Dördüncü alt bölümde denkleminde Wa2(0.1), (O<a<2) interpolasyon uzayından L2(0.1) fonksiyonel Hilbert uzayına sınırlı olan lineer operatör bulunduran sınır değer probleminin spektrumu incelenmiştir. Bu durumda spektrumun diskret olduğu ispat edilmiş ve özdeğerler için asimptotik formül bulunmuştur. Ayrıca asimptotik terim ile a sayısı arasında bağlantı kurulmuştur. Beşinci alt bölümde ise araştırılan diferensiyel-operatör sınır değer probleminin özfonksiyonları ve şerik fonksiyonları sisteminin (the system of eigen and associated functions) şartsız parantezli baz oluşturduğu ispatlanmıştır. Bu bölümün sonucu-altıncı alt bölümünde ise tez çalışmamızın teorik ve pratik önemini ve uygulama alanının genişliğini açıklığa kavuşturmak için tez konusunun bazı özel durumlarını (hallerini) gösteren örnekler verilmiştir. Çalışmamızın sonucu "Sonuç ve Öneriler" bölümnde ise araştırmamızdan çıkarılabilecek sonuçlardan ve bu konuda lineer yapılması gereken çalışmalardan bahis edilmiştir.